משוואת משיק למעגל בשיפוע נתון

  שאלה

נתון לנו מעגל שמרכזו בנקודה (a, b) ורדיוסו r . משוואת המעגל:

(x - a)² + (y - b)² = r²

נתון לנו ישר בעל שיפוע m, ונקודת חיתוך n עם ציר y. משוואת הישר:

y = mᐧx + n

עבור אילו ערכים של n הישר y = mx + n משיק למעגל?

פתרון

נשרטט את הבעיה

ישר בשיפוע נתון משיק למעגל

1. תחילה נמצא את הישר c  העובר  דרך מרכז המעגל (a, b) ושיפועו m . הישר c חותך את ציר y בנקודה c. 

שיפועו הישר c הוא m ועובר דרך נקודה (a, b) לכן משוואתו :

y - b = mᐧ(x - a)

y - b = mᐧx - mᐧa

y = mᐧx + (b - mᐧa)

נקודת חיתוך הישר c עם ציר y:

c = b - mᐧa

2. הישרים המשיקים למעגל מקבילים לישר c וחותכים את ציר y בנקודות n1, n2 , הנצאות במרחק L מנקודה c (ראה שרטוט לעיל).

כלומר:

n1 = c - L

n2 = c + L

נחשב את L:

L = r ᐧ (1/cos(𝜶))

tan(𝜶) = m

1/cos(𝜶) = sqrt(1 + (tan𝜶)²)

L = r ᐧ (1/cos(𝜶)) = r ᐧ sqrt(1 + (tan𝜶)²) = r ᐧ sqrt(1 + m²)

n1 = c - L = c -  r ᐧ sqrt(1 + m²)

n2 = c + L = c +  r ᐧ sqrt(1 + m²)

נציב c = b - mᐧa ונקבל:

n1 = b - ma - r ᐧ sqrt(1 + m²)

n2 = b - ma + r ᐧ sqrt(1 + m²)

משוואות הישרים המשיקים למעגל הם:

y = mx +  b - ma - r ᐧ sqrt(1 + m²)

y = mx +  b - ma + r ᐧ sqrt(1 + m²)

דוגמא:

נתון מעגל שמשוואתו :

(x - 1)² + (y-1)² = 25

מצא משוואות הישרים המשיקים למעגל לעיל ושיפועם m = 1.

פתרון

ניתן לראות כי שיעור מרכז המעגל הוא (1, 1) ורדיוס המעגל הוא 5.

נציב 

a = 1

b = 1

r = 5

m = 1

c = b - mᐧa = 1 - 1ᐧ1 = 0

L  = r ᐧ sqrt(1 + m²) = 5 ᐧ sqrt(1 + 1) = 5√2

נקודות חיתוך הישרים n1 , n2 עם ציר y: 

n1 = c - L = 0 - 5√2 = -7.071

n2 = c + L =  0 + 5√2 = 7.071

משוואות הישרים:

y = mᐧx + n

y = x - 7.071

y = x + 7.071

גרף המעגל והישרים:

גרף המעגל והישרים המשיקים