חקירת פונקציה טריגונומטרית - דוגמא פתורה

תרגיל

נתונה הפונקציה f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) בתחום 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹- .

א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצא את נקודות הקיצון בתחום  𝞹 <x < 𝞹- .

ג. רשום תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

פתרון

סעיף 1 - נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים
הפונקציה (f(x נחתכת עם ציר x כאשר 0 = (f(x , ועם ציר y כאשר x =0.

נקודת חיתוך עם ציר y

למציאת נקודת חיתוך עם ציר y נציב x = 0  במשוואה:

 f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) 

 f(0) = sin(0) + sin(0)ᐧcos(0) = 0

נקודת החיתוך היא (0 , 0). 

נקודת חיתוך עם ציר x

למציאת נקודת חיתוך עם ציר x נציב f(x) = 0  במשוואה:

 f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) = 0

 f(x) = sin(x)[1 + cos(x)] = 0

הפונקציה f(x) מתאפסת בשתי אפשרויות:

sin(x) = 0

1 + cos(x) = 0

אפשרות 1 :  sin(x) = 0

השוויון sin(x) = 0 מתקיים בתחום 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹-  כאשר :  x= 0 , x = 𝞹 , x = -𝞹.

באפשרות זו ישנן 3 נקודות חיתוך עם הצירים: (0 , 0) , (0 , 𝞹) , (𝞹 , 0-) .

אפשרות 2 : cos(x) = 0ו + 1  

1 + cos(x) = 0

cos(x) = -1

x = ± 𝞹

פתרון אפשרות 2 מוכל בפתרון אפשרות 1 .

 לכן ישנן שלש נקודות חיתוך עם הצירים:  (0 , 0) , (0 , 𝞹) , (𝞹 , 0-) .

סעיף 2 - מציאת נקודות קיצון (מינימום, מקסימום)

מציאת נקודות קיצון (מינימום , מקסימום) של הפונקציה:

f(x) = sin(x) + sin(x) ᐧ cos(x)

ערכי ה- x של נקודות קיצון ניתן למצוא על ידי השוואת הנגזרת הראשונה של הפונקציה ל- 0:

 f '(x) = 0 

נפתח ונשווה ל- 0:

f(x) = sin(x) + sin(x) ᐧ cos(x)

f(x) = sin(x) + ½ ᐧ 2 ᐧ sin(x) * cos(x)

f(x) = sin(x) + ½ ᐧ sin(2x)

f '(x) = cos(x) + cos(2x) = 0

cos(x) + cos(2x) = 0

2cos(1.5x)cos(0.5x) = 0

הביטוי מתאפס כאשר  cos(1.5x) = 0 או cos(0.5x) = 0 .

נבדוק עבור שני המצבים בתוך תחום ההגדרה 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹- . 

מצב 1 :  cos(1.5x) = 0

cos(1.5x) = 0

1.5x = ± 𝝅/2

x = ± 𝝅/3

מצב 2 :  cos(0.5x) = 0

cos(0.5x) = 0

0.5x = ± 𝝅/2

x = ± 𝝅

נחשב את ערכי f(x) עבור ערכי  x של נקודות הקיצון שמצאנו:

f(𝝅/3) = sin(𝝅/3) + sin(-𝝅/3) ᐧ cos(𝝅/3) = √3/2 + √3/4 = 3√3/4

f(-𝝅/3) = sin(-𝝅/3) + sin(-𝝅/3) ᐧ cos(𝝅/3) = -√3/2 - √3/4 = -3√3/4

f(𝝅) = sin(𝝅) + sin(𝝅) ᐧ cos(𝝅) = 0

f(-𝝅) = 0

 נקודות הקיצון של f(x) בתחום  𝞹 <x < 𝞹-  הן:

(𝝅/3 , 3√3/4)  ,  (-𝝅/3 , -3√3/4) ,  (𝝅 , 0)  ,   (-𝝅 , 0)

סעיף 3 - מציאת שיעורי נקודות מינימום מקסימום

מצאנו ארבע נקודות קיצון, פיתול אולם בשלב זה לא ידוע מה מהן נקודת מקסימום או מינימום או פיתול.
לשם מיפוי הנקודות למינימום מקסימום, פיתול נשתמש בתכונת הנגזרת השניה של הפונקציה:
- אם הנגזרת השניה של הפונקציה גדולה מאפס בנקודת הקיצון, אזי נקודת הקיצון היא נקודת מינימום.
- אם הנגזרת השניה של הפונקציה קטנה מאפס בנקודת הקיצון, אזי נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום.

- אם הנגזרת השניה של הפונקציה שווה ל- 0 , אזי הנקודה היא נקודת פיתול.

הפונקציה f(x) ונגזרותיה הראשונה והשניה:

 f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x)

f '(x) = cos(x) + cos(2x) 

f "(x) = -sin(x) - sin(2x)

נבדוק את ערך הנגזרת השניה f "(x) עבור כל אחת מנקודות הקיצון, פיתול שמצאנו בסעיף ב.

(𝝅/3 , 3√3/4)  ,  (𝝅/3 , -3√3/4-) ,  (𝝅 , 0)  ,   (𝝅 , 0-)

f "(𝝅/3) = -sin(𝝅/3) - sin(2𝝅/3) = -√3 / 2 - √3 / 2 = -√3 < 0  - נקודת מקסימום

f "(-𝝅/3) = -sin(-𝝅/3) - sin(-2𝝅/3) = √3 / 2 + √3 / 2 = √3 > 0  - נקודת מינימום

f "(𝝅) = -sin(𝝅) - sin(2𝝅) =  0  - נקודת פיתול

f "(-𝝅) = -sin(-𝝅) - sin(-2𝝅) =  0  - נקודת פיתול

על פי נקודות המינימום מקסימום, ניתן לזהות תחומי עליה, ירידה. לדוגמא מימין לנקודת מינימום הפונקציה עולה על נקודת הקיצון הבאה. לכן:

הנקודה  (𝝅/3 , -3√3/4-)  היא נקודת מינימום

הפונקציה יורדת בתחום 3/𝞹 ≤ x < -𝞹-

הפונקציה עולה בתחום 3/𝞹/3 ≤ x < 𝞹-

הנקודה  (4/𝝅/3 , 3√3)  היא נקודת מקסימום

הפונקציה יורדת בתחום   𝞹/3 < x ≤ 𝞹

ד. סקיצה של גרף הפונקציה   f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) בתחום 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹- .

נרשום את הנתונים נקודות קיצון (מינימום, מקסימום), נקודות פיתול ונקודות חיתוך עם הצירים שמצאנו בסעיפים א, ב, לשרטוט הסקיצה:

ישנן שלש נקודות חיתוך עם הצירים:  (0 , 0) , (0 , 𝞹) , (𝞹 , 0-) .

נקודת מקסימום:  (𝝅/3 , 3√3) 

נקודת מינימום:  (𝝅/3 , -3√3-) 

נקודות פיתול: (𝝅 , 0)  ,   (𝝅 , 0-)

סקיצה של הפונקציה f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) בתחום 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹- . יראה כך:

סקיצה של הפונקציה f(x) = sin(x) + sin(x)ᐧcos(x) בתחום 𝞹 ≤ x ≤ 𝞹- .