אנכים לשוקיים במשולש שווה שוקיים - בעיה פתורה בגיאומטריה

שאלה

 

BD ו- CE הם גבהים לשוקיים במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות AB = AC).

 

א. הוכח כי המשולשים CEB, BDC חופפים.

ב. הוכח DE||BC.

ג. הוכח:  AE*AC = AD*AB.

 

 

פתרון

 

נתון משולש שווה שוקיים AB = AC
BD ו- CE הם גבהים לשוקיים במשולש, BD מאונך ל- AC, ו- CE מאונך ל- AB

א. נוכיח שמשולשים BDC ו- CEB חופפים:
שני המשולשים הם ישרי זווית לפיכך נדרשים עוד שני שיוויונים במשולשים להוכיח חפיפתם.
זהות ראשונה: זווית CBE = זווית BCD - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות
זהות שניה: BC = BC - צלע משותפת
מכאן: משולשים BDC ו- CEB חופפים
מ.ש.ל א'

ב. נוכיח ש- DE||BC באמצעות משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.

(1) AB = AC - נתון
(2) BE = CD - נובע מהחפיפה שהוכחה ב- א
לכן:
(3) AE = AD , נובע מ- (1) ו- (2): חיסור גדלים שווים מגדלים שווים נותן גדלים שווים
AE/BE = AD/DC נובע מ- (2) ו- (3) חלוקת גדלים שווים מגדלים שווים נותן מנות שוות
לכן
DE||BC - משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.
מ.ש.ל ב

ג. נוכיח ש: AE*AC = AD*AB
נוכיח דימיון משולשים ABC, AED
זווית ABC = זווית AED - מתאימות מקבילים DE || BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AB
זווית ACB = זווית ADE - מתאימות מקבילים DE || BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AC
זווית A = זווית A - משותפת
מכאן משולשים ABC, AED דומים - משולשים ששלוש זוויותיהם (או שניים מהזוויות) שוות, דומים
מהדימיון נובע: AE/AB = AD/AC - יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים
מכאן AE*AC = AD*AB
מ.ש.ל