סדרה הנדסית - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה מספר 2

 

ההיקפים של משולשים שווי צלעות מהווים סדרה הנדסית עולה (ראה ציור).

בסדרה 8 משולשים.

 

אורך הצלע של המשולש הראשון הוא 3 ס"מ, ואורך הצלע של המשולש השני הוא 6 ס"מ.

א. מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה?

ב. מהו ההיקף של המשולש האחרון בסדרה?

ג. מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים?

רקע סדרה הנדסית:

 סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם  הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה, האיבר ה־ n-י נתון על ידי הנוסחה:  a_n = a₁ ᐧ q^n-1

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־-י (כולל) בעזרת הנוסחה :  S_n = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

פתרון שאלה 2

א. היקפי המשולשים מהווים סדרה הנדסית. נחשב תחילה את האיבר הראשון בסדרה a₁ ואת מנת הסדרה q.
אורך צלע המשולש הראשון הוא 3 ס"מ וכל המשולשים שווי צלעות לכן היקף המשולש הראשון הוא 9 ס"מ וזהו גם האיבר הראשון בסדרה a₁ = 9.
אורך צלע המשולש השני הוא 6 ס"מ לכן היקפו הוא 18 ס"מ: a₂ = 18
מנת הסדרה q היא המנה בין מספר בסדרה לקודמו:   

q = a₂ / a₁ = 18 / 9 = 2

לכן מנת הסדרה q = 2
היקף המשולש השלישי בסדרה הוא האיבר השלישי בסדרה ההנדסית:   

a₃ = a₁ ᐧ q² = 9 ᐧ 2² = 36

ב. היקף המשולש האחרון בסדרה הוא האיבר השמיני בסדרה ההנדסית:

a₈ = a₁ ᐧ q⁷ = 9 ᐧ 2⁷ = 1152

ג. סכום ההיקפים של שמונת המשולשים הוא סכום שמונת  האיברים בסדרה ההנדסית:

S₈ = a₁ ᐧ (q⁸ - 1) / (q - 1)

S₈ = 9 ᐧ (2⁸ - 1) / (2 - 1) = 9 ᐧ 255 = 2295