פירמידה ישרה שבסיסה מלבן - הנדסת המרחב - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה 4

 
הבסיס ABCD של פירמידה ישרה SABCD הוא מלבן. SH הוא גובה הפירמידה (ראה ציור).

נתון (מידות בס"מ):
AD = 16
AB = 26
SH = 28

א. חשב את אורך האלכסון של בסיס הפירמידה.
ב. חשב את האורך של מקצוע צדדי של הפירמידה.
ג. חשב את גודל הזווית שבין מקצוע צדדי ובין בסיס הפירמידה.

 

פתרון שאלה 4

א. נתון כי בסיס הפירמידה ABCD הוא מלבן שצלעותיו AB = 26 , AD = 16  (המידות בס"מ)
לכן BD אלכסון בסיס הפירמידה הוא אלכסון מלבן ABCD ויתר במשולש ABD (אלכסון המלבן מחלק אותו לשני משולשים ישרי זוית).
ע"פ משפט פיחגורס במשולש ישר זוית ABD ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים:

BD² = AB² + AD² = 26² + 16² = 676 + 256 = 932

BD = √932 = 30.53

אורך אלכסון בסיס הפירמידה הוא 30.53 ס"מ

ב. לחישוב אורך מקצוע צדדי נתבונן במשולש SHB. המשולש ישר זוית משום שנתון כי SH הוא גובה הפירמידה ולכן אנל לכל הישרים במישור ABCD ובתוכם BH.
 נקודה H היא אמצע האלכסון BD מאחר והפירמידה ישרה. לכן BH = BD/2 = 30.53/2 = 15.265
ע"פ משפט פיחגורס במשולש ישר זוית SHB ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים:

∆ SDH

SD² = SH² +HD²

SD^2 = 28² + 15.26²

SD = √1017

SD = 31.89

אורך המקצוע הצדדי הוא 31.89 ס"מ.

ג. חישוב הזווית שבין מקצוע צדדי ובין בסיס הפירמידה

הפירמידה ישרה ולכן מקצועותיה שווים. בסיס הפירמידה מלבן לכן מטעמי סימטריה כל מקצועותיה יוצרים זויות שוות עם בסיסה. נתייחס אל המקצוע SB.
הזוית בין המקצוע לבסיס היא הזוית בין המקצוע להיטלו על הבסיס. במקרה שלנו ההיטל הוא BH משום ש- SH מאונך לבסיס ויוצר את ההיטל BH.

במשולש SHD

sin∢SDH = SH / SD

sin∢SDH = 28 / 31.89

sin∢SDH = 61.4°

הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה שווה 61.40° .