הוכחת סכום סדרה הנדסית בדרך האינדוקציה

תרגיל

נתונה הסדרה ההנדסית שאיברה הראשון a1 ומנתה q.
 a1 , a1ᐧq , a1ᐧq2 ... a1ᐧqn-1

הוכח בדרך האינדוקציה כי סכום n איברים ראשונים של הסדרה הוא:
Sn = a1 ᐧ (qn - 1) / (q - 1)

הוכחה
נבדוק עבור n = 1
הסכום ע"פ איברי הסדרה:  S1 =  a1 
הסכום ע"פ הנוסחה: 
Sn = a1 ᐧ (qn - 1) / (q - 1)
S1 = a1 ᐧ (q1 - 1) / (q - 1)
Sn = a1 
הבדיקה תקינה הסכום הוא a1 ע"פ הנוסחה.

נבדוק עבור n=2

הסכום ע"פ איברי הסדרה:   
S2 =  a1+ a2   = a1 + a1ᐧq  = a1(q + 1)

הסכום ע"פ הנוסחה:
Sn = a1 ᐧ (qn - 1) / (q - 1)
S2 = a1 ᐧ (q2 - 1) / (q - 1)
S2 = a1 ᐧ (q + 1)(q - 1) / (q - 1)
S2 = a1 ᐧ (q + 1)
הבדיקה תקינה הסכום הוא a1(q + 1) ע"פ הנוסחה.

נניח שעבור n = k סכום הסדרה הוא :  Sk = a1 ᐧ (qk - 1) / (q - 1)

נוכיח שעבור n=k+1  סכום הסדרה הוא : Sk+1 = a1 ᐧ (qk+1 - 1) / (q - 1)



הוכחנו נכונות הנוסחה עבור n = 1 , n = 2 וגם הוכחנו את הנוסחה גם עבור n = k+1 בהנחה שמתקיימת עבור n=k לכן הנוסחה נכונה ע"פ שיטת האינדוקציה.

תגובה 1:

הירשם ל- תגובות לפרסום (Atom)