זהויות טריגונומטריות - קוסינוס סכום שתי זויות

קימות ארבע זהויות טריגונומטריות -לסכום שתי זויות  


sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ) cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)

בפרק זה נוכיח משוואת קוסינוס סכום שתי זוויות
 

דרוש להוכיח הנוסחה: cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ

הוכחה
את הנוסחה לחישוב קוסינוס של זווית נוכיח בעזרת השרטוט הבא:

כבניית-עזר נעביר קטע ישר BF המקביל לקטע AC והחותך את קטע DE בנקודה F.

נשים לב ש-

זווית ABF שווה לזווית BAC (זוויות מתחלפות בין הישר AB החותך שני ישרים מקבילים, BF||AC.
זווית DEB ועוד זווית EBF שוות יחד לזווית ישרה. זווית ABF ועוד זווית EBF שוות יחד גם כן לזווית ישרה. לכן זוויות ABF ו- BED בהכרח שוות ביניהן.

מתוך משולש ABC ומשולש ABE נקבל,

cos α = AC/AB
cos β = AB/AE

נבטא את AC בעזרת AE,

AC = AB cos α = AE cos α cos β

מתוך משולש ABE ומשולש EBF נקבל,

sin β = BE/AE
sin α = BF/BE

נבטא את BF בעזרת AE,

BF = EB sin α = AE sin α sin β

מתוך משולש ADE נקבל,

cos (α + β) = AD/AE = (AC – BF)/AE =
(AE cos α cos β – AE sin α sin β) / AE =
cos α cos β – sin α sin β