פתרון שאלה מספר 4 - בגרות 4 יחידות מתמטיקה חורף 2022 - גיאומטריה, מעגל ומשיק ודמיון משולשים

מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2022 - שאלון ראשון


שאלה מספר 4


בסרטוט שלפניך מתואר מעגל שמרכזו בנקודה  O.

AB הוא קוטר במעגל.

מעגל O קוטר AB

דרך הנקודה C שעל המעגל, העבירו משיק למעגל.

מן הנקודה B העבירו אנך למשיק, החותך אותו בנקודה  M, ;כמתואר בסרטוט.

א. הוכח:

ב. הוכח:

דרך מרכז המעגל, O , העבירו ישר מקביל ל־ BC.

ישר זה חותך את AC בנקודה E.

נתון: שטח המשולש ABC גדול פי 3.24 משטח המשולש CBM ,

OE = 5.  

ג. מצא את AB.


 פתרון שאלה מספר 5

 

א.  הוכח זווית BAC = זווית BCM

השיטה : משולשים BCA CMB ישרי זווית והזוויות בהן שוות מאחר וזווית (חדה) BCM שווה לזווית BAC (זווית היקפית במעגל שווה לזווית בין משיק למיתר עליה היא נשענת).

 נתבונן במשולשים CMB BCA.

1.משולש BCM ישר זווית - זווית BMC ישרה , נתון.

2.משולש BCA ישר זווית - זווית BCA נשענת על קוטר AB (נתון) ולכן ישרה.

3. זווית BAC = זווית BCM - זווית היקפית (BAC) במעגל (O) שווה לזווית בין משיק (CM , נתון) למיתר עליה היא נשענת (BC).

4. זווית CBA = זווית MBC  - נובע מ- 1,2,3 (משלימות ל 90 מעלות במשולשים BCA CMB).

 

 ב. הוכח :  BC*BC = AB*BM

5. מ- 1,2,3,4 נובע כי משולשים CMB, BCA דומים - משולשים ישרי זווית שזוויותיהן החדות שוות.

6. מהדמיון נובע:  BM/BC = BC/AB ולכן BC*BC = AB*BM 


 ג. מצא את AB

 נוכיח כי OE (נתון שווה 5) קטע אמצעים במשולש ABC ןלכן שווה למחצית BC , לכן BC = 10. מאחר ומשולשים CMB, BCA דומים, ויחס השטחים שלהם הוא 3.24 אזי יחס צלעותיהם הוא שורש 3.24 כלומר 8. 

מכאן נסיק שהיחס בין צלע AB ל- BC הוא 1.8 ולכן אורך צלע AB הוא 18.

 

 

דרך מרכז המעגל, O , נעביר ישר מקביל ל־ BC, על פי השאלה. ישר זה חותך את AC בנקודה E.

מעגל O עם OE

7. OE||BC - נתון

8. AO = BO - נתון , רדיוסים על הקוטר AB

9. OE קטע אמצעים במשולש ABC - נובע מ- 7,8 , על פי משפט הפוך קטע אמצעים.

10. BC = 2OE = 10  - קטע אמצעים OE במשולש ABC שווה למחצית הצלע BC אליה הוא מקביל.

11. משולשים CBM, ABC דומים - הוכח ב- 5

12. שטח המשולש ABC גדול פי 3.24 משטח המשולש CBM 

13. היחס בין צלע AB (במשולש ABC) ל- BC (במשולש CBM) הוא 1.8 - נובע מ- 11, 12 , יחס צלעות במשולשים דומים הוא שורש יחס השטחים.

14. AB = 18 נובע מ- 10, 13

מ.ש.ל
 

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה