פירוק טרינום לגורמים - דוגמאות פתורות

דוגמא 1

פרק את הטרינום לגורמים


פתרון

נחפש 2 גורמים שסכומם הגורם האמצעי בביטוי לעיל 5x ומכפלתם מכפלת הגורמים הראשון והשלישי בביטוי לעיל

הגורמים המתאימים הם: 2x , 3x

נסיים הפתרון:



דוגמא 2

פרק את הטרינום לגורמים


נחפש 2 גורמים שסכומם b ומכפלתם
 הגורמים המתאימים הם: 3b , 4b-
 

נוסחאות כפל מקוצר - דוגמאות פתורות

נוסחאות כפל מקוצר:



דוגמא 1

פרק לגורמים: 

פתרון:
משתמשים בנוסחה מספר 1:



דוגמא 2:

פשט: 

פתרון




דוגמא 3

פרק לגורמים:

פתרון:

 

משוואה ממעלה ראשונה - תרגיל פתור

פתור את המשוואה



פתרון

נגביל תחילה את תחום ההגדרה של הפתרונות לדוגמא שהמכנים חייבים להיות שונים מ- 0:

x ≠ 0, 1

 
נפתח את המשוואה ונפתור:
תחילה נכפול את כל אגפי המשוואה במכפלת המכנים x(x-1)  ונקבל:  

(5x + 9)(x-1) - x(7x-1) = -2x(x-1)

  נפתח ונפתור:

 

 

 בדיקת הפתרון:

 

סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בסדרה

תרגיל

בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב– 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית.

פתרון

נסמן את האיבר הראשון בסדרה a1 ואת הפרש הסדרה d

האיבר השלישי בסדרה הוא:
a3 = a1 + 2d

והאיבר השביעי:
a7 = a1 + 6d

ע"פ נתוני השאלה האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי: a7 = 4a1

a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)  

האיברים הרביעי והחמישי הם:

a4 = a1 + 3d
a5 = a1 + 4d

סכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי :  a3 + a4 = a5 + 1

לכן:
a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1

נפתור את שני המשוואות :

a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1
a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)

a1 + d = 1
3a1 + 2d = 0

ונקבל

a1 = -2
d=3

תשובה : הפרש הסדרה הוא 3

סדרה הנדסית - הסבר ודוגמאות פתורות

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם a₁ הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה, 

האיבר ה־ n  נתון על ידי הנוסחה  a_n = a₁ ᐧ q^n-1

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה- n י (כולל) בעזרת הנוסחה :  S_n = a₁ ᐧ (qⁿ -1) / (q - 1) 

דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2:  162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן  שסכום הסדרה הוא :

 S_n = a₁ ᐧ (qⁿ -1) / (q - 1)  = 2 ᐧ (3⁵ -1) / (3 - 1) = 2 ᐧ 242 / 2 = 242

דוגמאות תרגילים פתורים

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.

פתרון תרגיל 1

נתון:

a₂ = 54

a₅ = 16

נדרש למצוא את a₁ ו-  q

a₂ = 54

a₅ = 16

a₂ = a₁ ᐧ q

a₅ = a₁ ᐧ q⁴

a₅  / a₂  =  a₁ ᐧ q⁴ / a₁ ᐧ q  = 16 / 54

q³ = 8 / 27

q = 2 / 3

a₂ = a₁ ᐧ q  = a₁ ᐧ  2 / 3 = 54

a₁ =  81

תרגיל 2

סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 380. סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי. מצא את שלושת האברים הראשונים

פתרון תרגיל 2

נסמן את איברי הסדרה ב-  a_{1 ,} a_{2 ,}a₃   ואת המנה q.

משוואה 1: סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 380 לכן:  a₁ + a₂ + a₃  = 380    

משוואה 2: סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי לכן:   a₁ + a₂ =  a₃ + 20  

ע"פ הגדרת סדרה הנדסית:

a₂ = a₁ᐧ q

a₃ = a₂ᐧ q = a2ᐧq²

לכן משוואות 1 ו -2 :

a₁ + a₁ᐧq + a₁ᐧq² = 380

a₁ + a₁ᐧq = a₁ᐧq² + 20

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, נפתור: 

a₁ + a₁ᐧq + a₁ᐧq² = 380

a₁ + a₁ᐧq = a₁ᐧq² + 20

a₁ + a₁ᐧq + a₁ᐧq² = 380

a₁ + a₁ᐧq - a₁ᐧq² = 20

חיבור המשוואות 

2a₁ + 2a₁ᐧq  = 400

a₁ + a₁ᐧq  = 200

a₁ᐧ(1 + q) = 200

a₁ = 200 / (1 + q)

 הצבת a₁ באחת המשוואות:

a₁ + a₁ᐧq - a₁ᐧq² = 20

a₁ᐧ(1 + q - q²) = 20

[200 / (1 + q)]ᐧ(1 + q - q²) = 20

200ᐧ(1 + q - q²) = 20(1 + q)

10ᐧ(1 + q - q²) = 1 + q

10 + 10q - 10q² = 1 + q

10q²  - 9q - 9 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית, לכן יש שני פתרונות ל- q: 

q₁ = 1.5

q₂ = -0.6

כלומר יש שתי אפשרויות לסדרה:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:

a₁ = 80

q = 1.5

a₂ = a₁ ᐧ q = 80 ᐧ 1.5 = 120

a₃ = a₂ ᐧ q = 120 ᐧ 1.5 = 180

אפשרות שניה, סדרה עם מנה (0.6-) ואיבר ראשון 500:

q = -0.6

a₁ = 500

a₂ = 500 ᐧ (-0.6) = -300

a₃ = -300 ᐧ (-0.6) = 180

סכום סדרה חשבונית - נוסחאות, הוכחה, ודוגמא פתורה

נתונה סדרה חשבונית

a₁- האיבר הראשון בסדרה.

a_n - האיבר האחרון בסדרה.
n – מספר האיברים בסדרה.

d – הפרש הסדרה.

 
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה:   a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

 סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות:

S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n(a₁  + a_n) / 2

הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית

נוסחת סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית היא:  S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

סכום n  איברים של סדרה חשבונית הוא:

S_n =  a₁ + a₂  + a₃  + . . . + a_n 

נוסחת האיבר ה- n של סדרה חשבונית היא: 

a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

נציב ונקבל:

S_n =  a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + . . . + [a₁ + (n-1)d] =

S_n =  a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + . . . + (a₁ + nd - d) = 

S_n =  nᐧa₁  + d + 2d + (n-1)d = 

S_n =  nᐧa₁  + dᐧ[1 + 2 + 3 ... (n-1)] = 

השיוויון אפשר להגיע אליו בהיגיון או לקבל כנתון:

1 + 2 + 3 ... (n-1) = n(n-1)/2

S_n =   nᐧa₁  + dᐧnᐧ(n-1)/2 =  2nᐧa₁/ 2+ dᐧnᐧ(n - 1)/2 = nᐧ[2a₁ + dᐧ(n - 1)]/2

 S_n =  nᐧ[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 

מ.ש.ל

ישנן 2 נוסחאות נוספות שכדאי להכיר. אמנם אין להשתמש בהן ללא הוכחה, אך מכיוון שמדובר בהוכחה כל כך קצרה ופשוטה, חבל לוותר עליהן.

הנוסחה הראשונה היא :  S_n =  n(a₁  + a_n ) / 2 

נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.

 S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = n[(a₁ + a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = n(a₁  + a_n ) / 2

הנוסחה השניה היא :    S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2

 S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

נוכיח את נכונות הנוסחה על ידי שימוש בנוסחת האיבר הקודמת ובנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית.:

S_n =  n(a₁  + a_n) / 2 = n[(a₁ + dᐧ(n-1) + a_n - dᐧ(n-1)] / 2 = n[(a_n + a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 

תרגיל - מציאת סכום סדרה חשבונית

נתונה לנו סדרה חשבונית:

-5 , -1 , 3 , ... , 39

מהו סכום הסדרה?

פתרון

הסדרה היא סדרה חשבונית שהפרשה d = 4 , איברה האחרון a_n = 39 , u , ואיברה הראשון a₁ = -5.

לפי נוסחת האיבר הכללי נמצא כמה איברים יש בסדרה:

a_n = a₁ + dᐧ(n-1)

39 - -5 + 4(n - 1)

39 = -5 + 4n - 4

39 = 4n - 9

4n = 48

n = 12

בסדרה יש 12 איברים.

נמצא את סכום הסדרה לפי כל אחת מנוסחאות הסכום.

נתוני הסדרה:

d = 4

a₁ = -5

a_n = 39

n = 12

סכום הסדרה לפי כל אחת משלושת הנוסחאות:

 S_n =  n[(2a₁ + dᐧ(n-1)] / 2 = 12ᐧ[2 ᐧ (-5) + 4ᐧ(12 - 1)] / 2 = 12ᐧ(-10 + 4 ᐧ 11) / 2 = 12 ᐧ 34 / 2 = 204

S_n =  n(a₁  + a_n ) / 2 = 12(-5 + 39) / 2 = 12 * 34 / 2 = 204

 S_n =  n[(2a_n - dᐧ(n-1)] / 2 = 12[2 * 39 - 4(12 - 1)] / 2 = 12(78 - 4 * 11) /2 = 12(78 - 44) /2 =  12 * 34 / 2 = 204

שתי משוואות עם שני נעלמים מהמעלה הראשונה - דוגמא פתורה

פתור מערכת המשוואות:




מאחר והאגף הימני בשתי המשוואות שווה 1 נשווה את האגפים השמאליים ונפתח:



קיבלנו



נפתור לפי שיטת ההצבה, נציב את y באחת המשוואות, נניח הראשונה ונקבל:



נחלץ את x ונפתור:



לבסוף נבצע בדיקה:




תרגילים נוספים עם תשובות

פתרון שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים - שיטת ההצבה

לפנינו שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים:
x + 3y = 17
3x + 2y = 23

נציב את המשוואה הראשונה x = 17 - 3y במשוואה השניה:

7y = 28

y = 4

נחשב את x :

x = 17 - 3y = 17 - 3*4 = 17 - 12 = 5

x = 5

שברים - כפל שבר במספר שלם

דוגמא 1:

נתון לנו התרגיל    , זהו למעשה השבר 4/6 מוכפל במספר שלם 6.

שיטת הפתרון:
כופלים את מונה השבר 4 במספר השלם 5 ומחלקים במכנה 6. המספר השלם "קופץ" למונה ומוכפל בו.

פיתוח הפתרון:   

התוצאה היא



דוגמא 2

פתור התרגיל  

תחילה מכפילים השלם במונה ומחלקים במכנה:   

תוצאת המונה: 


צמצום המונה והמכנה ב- 2 :

אפשר גם הצגה עשרונית של הפתרון: