זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר שווה ל- 90°

הוכח: זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל- 90° .

 

זוית היקפית C נשענת על הקוטר במעגל O

נתון:

מעגל שמרכזו בנקודה O
AB - קוטר המעגל
C נקודה על היקף המעגל

צריך להוכיח:  ACB = 90°⦠

הוכחה:

 

בניית עזר: 

בניית עזר - רדיוס לקודקוד C של בזוית ההיקפית ACB

נבנה רדיוס לקודקוד C של הזווית ההיקפית ACB. קיבלנו שני משולשים שווי שוקיים, ולפי משפט זוויות הבסיס שלהם שוות. סכום הזויות הבסיס הוא 180 מעלות (סכום זויות משולש ABC) וסכום מחציתן 90 מעלות (זוית C מה שנתבקשנו להוכיח).

OC = OB רדיוסים במעגל O שווים
לכן:   βו= OCB⦠ו = OBC⦠  -  במשולש שווה שוקיים - מול צלעות שוות מונחות זויות שוות

 OC = OA רדיוסים במעגל O שווים
 לכן:    𝜶ו=OAC⦠ו = OCA⦠  -   במשולש שווה שוקיים - מול צלעות שוות מונחות זויות שוות

 180° =ן 2𝜶 + 2β  - סכום זויות במשולש (ABC) הוא 180 מעלות

לכן:   90° =ן 𝜶 + β

ולכן:  ACB = 90°⦠ =ן 𝜶 + β

מ.ש.ל