מטריצת סיבוב זוית שלילית

מטריצת סיבוב זוית שלילית

חישוב ערכי איברים מטריצת סיבוב עבור זויות מסוימות

מטריצת סיבוב

מטריצה הופכית

מטריצה משולשת עליונה

כפל מטריצה בעצמה

כפל מטריצה עם אפסים ואחדים בעצמה

כפל מטריצות

כפל מטריצה אלכסונית בעצמה

כאשר מכפילים מטריצה אלכסונית בעצמה המטריצה המתקבלת היא אלכסונית שאיבריה הם ריבועי המטריצה המקורית.

מטריצה הפיכה

נתונה A מטריצה ריבועית.

הוכח: אם A² = 0 אזי I - A היא מטריצה הפיכה.

הוכחה

נבדוק האם קיימת מטריצה  (1-)^(I - A) כך ש:

(I - 1)(I -1)^-1 = I

ננחש מטריצה I + A :

(I - A)(I+ A) = 

I² + A - A - A² = 

I + A - A - A² = I

המטריצה ההופכית של  I - A היא  I + A  ולכן קיימת מטריצה הופכית ל-  I - A

 

דימיון מטריצות מוחלפות

מטריצות דומות

מכפלת מטריצה בוקטור

מטריצה מוטת סימטרית

הוכחות זהויות - נורמות של וקטורים

תרגילים פתורים - חיבור וחיסור מטריצות וכפל בסקלר

הוכחת שיוויון - סכום מטריצות מוחלפות

מטריצה מוחלפת מוכפלת בסקלר - הוכחת זהות

מטריצה מוחלפת מוכפלת בסקלר - הוכחת זהות

אלגברה לינארית - הצגה פרמטרית של ישר העובר דרך שתי נקודות

אלגברה לינארית - הצגה פרמטרית של ישרים

אי תלות לינארית של וקטורים אורתוגונליים

נניח A­₁ , .... A_r הם וקטורים שאינם אפסים ואורתוגונליים

כך ש: A_i · A_j = 0  אם i ≠ j. נניח כי c_{1, …} c_r סקלרים כך ש:

c₁A₁ +…. c_rA_r = 0.

הראה ש: c_i  = 0.

הוכחה:

נתון כי :   c₁A₁ +….+ c_rA_r = 0

נכפיל את שני האגפים בוקטור A_i כלשהו ונקבל:

(c₁A₁ +…+c_iA_i +...+ c_rA_r)· A_i = 0·A_i

c₁A₁ ·A_i +…+ c_iA_i· A_i +...+ c_rA_r·A_i = 0

עקב האורתוגונליות (A_i · A_j = 0) כל המכפלות מתאפסות מלבד האיבר ה- i ולכן:

c_iA_i·A_i = 0

אך A_i ≠ 0 – נתון, ולכן  > 0   A_i·A_i

לכן c_i = 0

זוית בין וקטורים

היטל של וקטור

ב. חשב את ההיטל של וקטור A על וקטור B.

A = (- 1, 3) , B = (0,4)

פתרון

ההיטל של וקטור A על וקטור B:

proj(A, B) = (AᐧB / BᐧB) ᐧ B

proj(A, B) = [(-1, 3)ᐧ(0, 4) / (0, 4)ᐧ(0, 4))] ᐧ (0, 4) =

proj(A, B) = [(0 + 12) / ( 0 + 16)] ᐧ (0, 4) =

proj(A, B) = (12 / 16) ᐧ (0, 4) = (3/4) ᐧ (0, 4) = (0, 3)

ג. חשב את ההיטל של וקטור A על וקטור B.

A = (2, -1, 5) , B = (-1 , 1, 1)

פתרון

proj(A, B) = (AᐧB / BᐧB) ᐧ B

proj(A, B) = [(2, -1, 5)ᐧ (-1 , 1, 1) /  (-1 , 1, 1)ᐧ (-1 , 1, 1)] ᐧ  (-1 , 1, 1) = 

proj(A, B) = [(-2 - 1 +5) /  (1 + 1 + 1)] ᐧ  (-1 , 1, 1) = 

proj(A, B) = (2 / 3) ᐧ  (-1 , 1, 1) = 

proj(A, B) = (-2/3 , 2/3 , 2/3)

ההיטל של וקטור A על וקטור B הוא (2/3 , 2/3 , 2/3-).

תרגילים פתורים - נורמה של וקטור

משפט פיתגורס הכללי

הוכח שאם A, B אורתוגונליים אזי:

||A||² + ||B||² = ||A+B||²

הוכחה:

||A+B||² = (A + B) ∙ (A + B) =

A² + 2A∙B +  B² =

הוכחנו הזהות:  (A + B) ∙ (A + B)= A² + 2A∙B +  B²

אך A, B אורתוגונליים, כלומר: A∙B = 0

לכן  :

||A+B||² = A² +  B² = ||A||² + ||B||²