טרפז שווה שוקיים - פתרון שאלה טריגונומטריה בגרות 5 יחידות קיץ 2009

שאלה

בטרפז שווה שוקיים ABCD  , הצלעות AB||CD , אורך הבסיס הגדול CD הוא a.

אורך הבסיס הקטן AB הוא b, ןאורך השוק הוא d.

הזווית ליד הבסיס הגדול DC היא  β  (ראה ציור).

א. הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא sqrt(ab + d²).  

sqrt - שורש.

ב. הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדול של הטרפז היא α .

הוכח כי אם ⍺ + β = 90  אז:

  sin ⍺ / sin(β - ⍺) = sqrt((a² - ab) / (2b²))

פתרון

א. נוכיח כי אורך אלכסון הטרפז הוא sqrt(ab + d²).  

בונים בניית עזר את אלכסון BD ואת זווית BAD השווה ל - 

זווית BAD = 180 - 𝝱

מחשבים את BD לפי משפט הקוסינוסים במשולשים ABD , BCD.

משפט קוסינוסים על משולש BCD:

BD² = a² + d² - 2adcos𝝱

משפט קוסינוסים על משולש ABD

BD² = b² + d² - 2bdcos(180-𝝱)

BD² - a² - d²  = - 2ᐧaᐧdᐧcos𝝱

BD² - b² - d² =  2ᐧbᐧdᐧcos𝝱

(BD² - a² - d²)/(2a)  = - dᐧcos𝝱

(BD² - b²  - d²)/(2b) =  dᐧcos𝝱

(BD² - a² - d²)/(2a) +  (BD² - b² - d²)/(2b)  = 0

b(BD² - a² - d²)  + aᐧ(BD² - b² - d²) = 0

bᐧBD² - bᐧa² - bᐧd² + aᐧBD² - aᐧb² - aᐧd² = 0

BD²(a + b) - aᐧbᐧ(a+b) -d²ᐧ(a+b) = 0

BD² - ab - d²= 0

BD² = ab  + d²

BD = sqrt(aᐧb + d²)

ב. הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדול של הטרפז היא α .

הוכח כי אם ⍺ + β = 90  אז: 

  sin ⍺ / sin(β - ⍺) = sqrt((a² - aᐧb) / (2ᐧb²))

משפט פיתגורס על משולש BCD:

BD² + d² = a²

מסעיף א נציב מה שהוכחנו:

BD² = ab + d²

ab + d² + d² = a²

2ᐧd² = a² - aᐧb     (*)

משפט הסינוסים במשולש ABD , נציב זווית ADB = β - ⍺, וזוית ABD = ⍺ , ו - AD = d:

b / sin(β - ⍺)  = d /  sin ⍺ 

 sin ⍺  / sin(β - ⍺). = d / b = sqrt(2ᐧd² / 2ᐧb²) 

נציב 2d² = a² - ab  מ- (*) לעיל:

sqrt(2ᐧd² / 2ᐧb²) = sqrt((a² - ab) / (2ᐧb²))

ונקבל

  sin ⍺ / sin(β - ⍺) = sqrt((a² - aᐧb) / (2ᐧb²))

מ.ש.ל.