מציאת שיעור קדקוד הפרבולה

שיעורי קדקוד הפרבולה  y = ax² + bx +c עבור  a ≠ 0  הם:

 מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה (ראה סקיצה בהמשך):

הפרבולה חותכת את ציר y בנקודה P(0, c)

עקב סימטריה קיימת נקודה נוספת שבה y = c, נמצא אותה ע"י פתרון המשוואות:

y = ax² + bx + c

y = c

c = aᐧx² + bᐧx + c

 aᐧx² + bᐧx = 0

x(a + bᐧx) = 0

x1 = 0

x2 = -b / a

ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה  y = ax² + bx +c עם הישר y = c והן:

P(0, c)

Q (-b/a , c)

מציאת קודוקוד פרבולה כממוצע שתי נקודות סימטריה על הפרבולה

שיעור קדקוד הפרבולה M נמצא באמצע הקטע PQ ולכן


נמצא את ע"י הצבת בפונקציה הריבועית:



ולכן שיעורי קדקוד הפרבולה M:

תיבה - נפח, שטח פנים ומעטפת

נפח תיבה

תיבה הוא גוף המורכב משני בסיסים בצורת מלבן ומ- 4 פאות צדדיות שגם הן בצורת מלבן. הפאות ניצבות (מאונכות) לבסיסים.

כדי לחשב נפח התיבה צריך לכפול את שטח בסיס התיבה בגובהה. נניח שצלעות בסיס  התיבה הן a   ו- b וגובהה h.

שטח בסיס התיבה: S_תיבה = a∙b

נפח התיבה: V_תיבה =  a∙b∙h

נפח תיבה: V = a ᐧ b ᐧ h

 

תיבה

שטח הפנים של תיבה

פני התיבה זהו שטח כל החלק החיצוני של התיבה. כדי לחשב את שטח הפנים של התיבה צריך לחבר את השטחים של ששת המלבנים שהם פני התיבה:

שטח הפנים של תיבה שצלעות הבסיס של הן a, b וגובהה h הוא:

S_{שטח פנים}  = 2ab +2ah + 2bh

שטח המעטפת של התיבה

סכום שטחי 4 הפאות הצדדיות של התיבה נקרא מעטפת .

שטח המעטפת של תיבה שצלעות הבסיס של הן a, b וגובהה h הוא:

M_מעטפת = 2ah + 2bh = 2h(a+b)

דוגמאות פתורות:

1. מקצועות הבסיס של תיבה הם 4 ס"מ ו-7 ס"מ, גובה התיבה הוא 11 ס"מ. חשב את נפח התיבה:

תשובה: נפח תיבה V שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה: V  = a*b*h = 4*7*11 = 308 

נפח התיבה הוא 308 סמ"ק

2. אורך הצלע של תיבה ריבועית הוא 5 ס"מ, גובה התיבה הוא 7 ס"מ. חשב את נפח התיבה.
תשובה: תיבה ריבועית היא תיבה שבסיסיה הם ריבועים, לכן הנפח V של התיבה הריבועית:
V = 5 ᐧ 5 ᐧ 7 = 175
נפח התיבה הריבועית הוא 175 סמ"ק.

 

3.  מקצועות הבסיס של תיבה הם 4 ס"מ ו-7 ס"מ, גובה התיבה הוא 8 ס"מ. חשב את מעטפת התיבה.

תשובה: מעטפת התיבה M היא סכום שטחי 4 הפאות הצדדיות של התיבה, כלומר:

M = 2 ᐧ 4 ᐧ 8 + 2 ᐧ 7 ᐧ 8 = 64 + 112 = 176

שטח מעטפת התיבה הוא 176 סמ"ר.

4. מקצועות הבסיס של תיבה הם 5 ס"מ ו-6 ס"מ, גובה התיבה הוא 9 ס"מ. חשב את שטח הפנים של התיבה.

תשובה:  כדי לחשב את שטח הפנים S של התיבה צריך לחבר את השטחים של ששת המלבנים שהם פני התיבה, לכן:

 S = 2 ᐧ 5 ᐧ 6 + 2 ᐧ 5 ᐧ 9 + 2 ᐧ 6 ᐧ 9 = 60 + 90 + 108 = 258

שטח פני התיבה הוא 258 סמ"ר.

 

קישורים

 קוביה - נפח, מעטפת, ושטח פנים - הקובייה היא תיבה שכל פאותיה הן ריבועים. לקובייה 6 פאות שכולן ריבועים חופפים. הקובייה היא גוף משוכלל.קובייה: קובייה היא גוף שכל ממדיה שווים - אורך, רוחב וגובה...

 חרוט ישר - שטח בסיס, מעטפת, נפח   -חרוט, או חדודית, קרוי גם קוֹנוּס (מיוונית: κώνος) הוא גוף תלת-ממדי, המוגדר על ידי בסיס...

פירמידה- בסיס, קודקוד, מקצוע צדדי, מקצוע בסיס, גובה ונפח  - פירמידה היא פאון תלת-ממדי המורכב ממצולע שנקרא בסיס הפירמידה, מנקודה מחוץ למישור של המצולע שנקראת קודקוד הפירמידה..

 כדור - נפח ושטח פנים

גליל - נפח, בסיסים, שטח פנים ומעטפת -  גליל הוא משטח הנוצר מכל הנקודות הנמצאות במרחק קבוע מישר כלשהו הנקרא ציר הגליל. הגוף שאותו תוחמים משטח זה ושני בסיסים חופפים,..

פרבולה - מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012

1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I.    t(x) = 2(x – 3)² + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)² – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)² – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)² – 4

פתרון סעיף א

הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על צירx  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:

 p(x) = –2(x + 3)² – 4

נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =

0 = –2(x + 3)² – 4

4 =  –2(x + 3)²

2- = (x + 3)²  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.

התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)² – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)² יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 

פתרון סעיף ב

בדיקת טענה 1: נפתור המשוואות y = –7 ו- m(x) = (x -3)² - 4:

m(x) = (x -3)² - 4
y = -7

(x -3)² - 4 = -7

(x -3)²  = -3

קיבלנו משוואה ללא פתרון מאחר ולא קיים ביטוי בריבוע שתוצאתו מספר שלילי. לכן טענה 1 אינה נכונה.

בדיקת טענה 2: הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

m(x) = (x -3)² - 4
y = 0

(x -3)² - 4 = 0

(x -3)² = 4

x -3 = ±2

x1 = 5

x2 = 1

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0. לכן טענה 2 נכונה.



ג. באיזה תחום הפונקציה m(x) = (x -3)² - 4 שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג

בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה m(x) = (x -3)² - 4 עם ציר x, שהן: 5, 1

גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נקודת מינימום, ושתי נקודות חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)

   5 > x > ו1

ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.

פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:  y = aᐧx² + bᐧx + c

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:

מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה לעיל.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:

y = -x² + 6x - 13

קישורים:

• מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

•  מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

תרגיל פתור בפיסיקה מכניקה - גוף מחליק במישור משופע

השאלה מבחינת בגרות בפיסיקה 5 יח' קיץ תשע"ב

גוף שמסתו m מחליק במהירות קבועה במורד מישור משופע שזוית נטייתו 𝞱 .

מהו הכוח השקול הפועל על הגוף, הסבר

א. סרטט תרשים של הכוחות הפועלים על הגוף, וציין מהו כל כוח.

פתרון סעיף א
הכוחות המופעלים על גוף יכולים לנבוע ממגע כגון כוח תגובה של קרקע, משדה לדוגמא כוח הכובד משדה הכובד כוח אלקטרוסטטי משדה חשמלי, או מכוח חיכוך.

כוח החיכוך f מופעל על הגוף נגד כיוון התנועה, כלומר כיוון f במעלה המישור. אילולא היה מופעל כוח חיכוך היה הגוף נע בתאוצה קבועה במורד המישור בגלל רכיב כוח הכובד בכיוון זה ( mᐧgᐧsin𝞱)

להלן סקיצה של הכוחות הפועלים על הגוף m והסבר על כל אחד מהם:

דיאגרמת כוחות גוף נע במורד מישור משופע במהירות קבועה

כוח תגובה N - כוח תגובה שמפעיל המישור המשופע על הגוף, כיוונו של כוח N הוא מאונך למישור המשופע יוצא ממנו.

כוח הכובד mg - כוח שמפעיל שדה כוחה הכובד על הגוף m , כיוונו של כוח הכובד הוא מאונך לקרקע לכיוון הקרקע (כיוון מטה)

כוח חיכוך f - כוח שמפעיל המישור המשופע על הגוף פרופורצינלי לכוח תגובה N. כיוונו של כוח חיכוך הוא נגד כיוון התנועה

הכוח השקול הפועל על הגוף
מאחר והגוף נע במהירות קבועה תאוצתו שווה לאפס, a = 0 . ע"פ החוק השני של ניוטון הכוח הפועל על הגוף שווה למכפלת מסתו בתאוצה שלו, F = ma , ומקרה זה: F = mᐧ0 = 0 , לכן הכוח השקול הפועל על הגוף שווה לאפס.                                      

לנוחות להמשך פתרון השאלה:
נפרק את כוח הכובד mg לשני רכיבים, אחד בציר מקביל למישור המשופע והשני מאונך לו ונקבל:

גוף נע במורד מישור משופע - דיאגרמת כוחות

 

מאחר ושקול הכוחות הפועל על הגוף שווה 0 נקבל משוואות כוחות:

f = mᐧgᐧsin𝞱

N = mᐧgᐧcos𝞱

תרגיל פתור תנועה שוות תאוצה - טיל מאיץ ממנוחה בתאוצה קבועה

טיל מאיץ ממנוחה בתאוצה קבועה. כעבור 9 שניות, מהירות הטיל היא 58.5m/s.

א. מהי תאוצת הטיל?

נתון:

v₀=0

v_(t)=58.5m/s

t=9s

צ"ל: a=?

פתרון:

 

ב.      מה תהיה מהירות הטיל כעבור 12 שניות?

נתון: t=12s

צ"ל: v_(t)=?

פתרון:

 ג.        תוך כמה זמן יגיע הטיל למהירות של 100m/s?

נתון: v_(t)=100m/s

צ"ל: t=?

פתרון:

תרגיל פתור תנועה שוות תאוצה - האצת צ'יטה

הצ'יטה היא החיה היבשתית המהירה ביותר על פני כדור-הארץ. צ'יטה יכולה להגיע למהירות מרבית של כ-120 קמ"ש, ומסוגלת להאיץ מ-0 ל-110 קמ"ש בשלוש שניות!

א. בהנחה שהצ'יטה מאיצה בתאוצה קבועה, מהי תאוצת הצ'יטה כשהיא מאיצה מ-0 ל-110 קמ"ש תוך 3 שניות? שימו לב ליחידות!

נתון:

v₀=0

v_(t)=110km/h

𝚫t  = 3s

צ"ל: a=?

פתרון:

תחילה נמיר יחידות: v_(t)=110km/h=30.56m/s

כעת נחשב:

ב. תוך כמה זמן יכולה צ'יטה להגיע ממהירות של 30 קמ"ש למהירות של 120 קמ"ש?

נתון:

v₀=30km/h

v_(t)=120km/h

צ"ל: t=?

פתרון: