הוכח: מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לה היא מעוין

נתון: מקבילית ABCD שבה AB||CD , BC||AD

 

מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה

 

האלכסונים במקבילית מאונכים זה לזה כך ש:


צריך להוכיח: המקבילית ABCD היא מעוין


הוכחה:
במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות, לכן אם נוכיח שצלעות סמוכות שוות הרי שכל הצעות שוות ולכן היא מעוין. להוכחת צלעות סמוכות שוות נחפוף משולשים ABO, BOC . נשתמש בתכונה שאלכסוני המקבילית  חוצים זה את זה.

חפיפת משולשים ABO, CBO:
AO = CO  - אלכסונים המקבילית חוצים את זה
BO = BO - צללע משותפת
- נתון - אלכסוני המקבילית מאונכים זה לזה  

מכאן נובע:   לפי צ.ז.צ

1: מהחפיפה נובע: AB = BC
2: כמו כן במקבילית זוג צלעות נגדיות שוות כלומר: AB = CD , BC = AD

מהשיוויונות 1, 2 נובע: AB = CD = BC = AD
מכאן שמרובע ABCD מעוין מאחר וארבעת צלעותיו שוות

מ.ש.ל