פתרון שאלות 25-26 - מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010 - בעיית מספרים, ומשולש ישר זוית

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010

שאלה 25

סכום ארבעה מספרים הוא 45.

אם:
נוסיף 2 למספר הראשון
נחסר 2 מהמספר השני
נכפול ב- 2 את המספר השלישי
נחלק ב- 2 את המספר הרביעי
נקבל ארבעה מספרים שווים זה לזה.

מצאו את כל אחד מהמספרים.
הציגו את דרך החישוב.

פתרון שאלה 25

נסמן ב- x את הערך של את הערך של ארבעת המספרים השווים זה לזה לאחר שינויי הערכים. לכן ערכי המספרים (השווים x ) לפני השינוי הוא:

מספר ראשון (לפני הוספת 2): x-2
מספר שני (לפני  חיסור ב- 2): x+2
מספר שלישי: (לפני כפל ב- 2): x/2
מספר רביעי (לפני חילוק ב- 2) : 2x

סכום ארבעת המספרים הוא 45 לכן:

x - 2 + x + 2 + x/2 + 2x = 45

נפשט ונפתור:

x - 2 + x + 2 + x/2 +2x = 45

4.5x = 45

x = 45 / 4.5 = 10 

x = 10

קיבלנו x=10 ,לכן
המספר הראשון:  x-2 = 10 -2 = 8
המספר השני:x+2 = 10 + 2 = 12
המספר השלישי: x/2 = 10/2 = 5
המספר הרביעי: 2x = 2ᐧ10 = 20

בדיקת הפתרונות

בדיקת סכום המספרים: 8 + 12 + 5 + 20 = 45
הבדיקה עברה בהצלחה סכום המספרים הוא 45 כפי שנתון בשאלה.

בדיקת פעולות במספרים:
 הוספת 2 למספר הראשון: 10 = 2 + 8
חיסור 2 מהמספר השני: 10 = 2 - 12
כפל ב- 2 את המספר השלישי: 10 = 2ᐧ5
חילוק ב- 2 את המספר הרביעי:  10 = 20:2

הבדיקה עברה בהצלחה קיבלנו 4  מספרים שווים (10).



שאלה 26 - חישוב שטח משולש ישר זוית בשני אופנים

לפניכם משולש ישר זווית. 

הקטע h הוא גובה ליתר.
נמקו מדוע מכפלת אורכי הניצבים של המשולש הגדול שווה למכפלה של הקטע h באורכו של היתר של המשולש הגדול.

פתרון שאלה 26:

השיטה: נחשב שטח המשולש ישר זוית בשני אופנים: אופן ראשון ע"י מחצית מכפלת הניצבים ואופן שני ע"י שני ע"י מחצית מכפלת היתר והגובה ליתר, ושווה בין התוצאות.

נשרטט את המשולש ישר זוית ונסמן צלעות וקודקודים

 a ו- b הם ניצבים ו- c הוא היתר.
כידוע שטח משולש שווה מחצית מכפלת צלע בגובה לאותה הצלע.

א. שטח משולש ישר זוית ABC הוא מחצית מכפלת ניצביו
הניצב במשולש ישר זוית הוא צלע אך גם גובה לניצב הסמוך לו לכן שטח משולש ישר זוית ABC הוא: S = aᐧb/2

ב. שטח משולש ישר זוית הוא מחצית מכפלת היתר בגובה ליתר: הקטע h הוא הגובה ליתר c מאחר והוא מאונך לו ויוצא מקודקוד C של המשולש מול היתר c. לכן:
לכן S = cᐧh/2

נשווה בין השטחים שקיבלנו בסעיפים א,ב מאחר והם מתייחסים לאותו משולש ABC ונקבל:

aᐧb/2 = cᐧh/2
aᐧb = cᐧh

קיבלנו שמכפלת אורכי הניצבים של המשולש הגדול (ABC) שווה למכפלה של הקטע h באורכו של היתר של המשולש הגדול. וזה מה שנתבקשנו להוכיח.

פתרון שאלות 23-24 - מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010 - ביטוי אלגברי ומשוואה אלגברית

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010

שאלה מספר 23

יוסי רצה לקנות 2 מחקים ו- 5 מחברות.
מחיר 2 המחקים גבוה ב- 4 ₪ ממחיר מחברת אחת.

א. אם מחיר כל מחברת הוא 10 שקלים, מה הסכום ששילם יוסי עבור המחקים והמחברות?
תשובה: __________________

ב. אם מחיר כל מחברת הוא x שקלים, מה הביטוי האלגברי שמתאר את הסכום ששילם יוסי עבור המחקים והמחברות?

הביטוי האלגברי: __________________

ג. יוסי נתן למוכר שטר של 100 ₪. המוכר הציע ליוסי 2 מחברות נוספות במקום עודף ואמר שמחירן שווה לעודף שצריך לקבל.
מה היה המחיר של כל מחברת?
הציגו דרך פתרון

פתרון שאלה 23

א. מחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות

מחיר מחברת נתון: 10 שקלים

מחיר 2 מחקים גבוה ב- 4 שקלים ממחיר מחברת, לכן:

מחיר 2 מחקים: 10+4 = 14 שקלים

מחיר 5 מחברות = מחיר מחברת אחת כפול 5 = 10 * 5 = 50 שקלים.

מכאן מחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות = 14 + 50 = 64 שקלים .

מחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות הוא 64 שקלים

ב. ביטוי אלגברי למחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות

מחיר מחברת נתון: x שקלים

מחיר 2 מחקים גבוה ב- 4 שקלים ממחיר מחברת, לכן:

מחיר 2 מחקים: (x+4) שקלים

מחיר 5 מחברות = מחיר מחברת אחת כפול 5  = 5x שקלים.

מכאן מחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות:

 (x+4) + 5x

6x +4

ביטוי אלגברי למחיר 2 מחקים ו- 5 מחברות הוא (6x+4).

ג.
ביטוי אלגברי לעוד 2 מחברות הוא הביטוי האלגברי הקודם: (6x+4) ועוד מחיר 2 מחברות: 2x
מקבלים:
 (6x+4) +2x
8x+4

 ומחיר זה הוא 100 שקלים ע"פ השאלה, נפתור ונמצא את x מחיר מחברת::
8x + 4 = 100
8x = 100 - 4
8x = 96
x = 96/8 = 12

מחיר כל מחברת 12 שקלים

שאלה 24

נתון מלבן כמתואר בסרטוט. אורך הצלע AB היא x ס"מ ואורך הצלע BC היא y ס"מ.

מלבן ABCD שאורך צלעותיו x,y

 

 

גזרו מאורכו של המלבן רבע מהאורך, כך שנוצרו שני מלבנים. 

רשמו ביטוי אלגברי המתאר בכמה גדול היקף המלבן ABCD  מהיקף המלבן EFDA?

תשובה: _________________________

הסבירו את תשובתכם:

פתרון שאלה 24

היקף מלבן שווה לסכום אורכי צלעותיו. נחשב תחילה את ההיקף P1 של המלבן המלבן ABCD, לאחר מכן נחשב היקף P2 של המלבן EFDA אחר הגזירה ונחשב את במה גדול היקף המלבן ABCD
מהיקף המלבן EFDA.

היקף P1 של מלבן ABCD: אורכו של מלבן ABCD הוא x ורוחבו y לכן היקפו: P1 = 2x +2y

היקף P2 של המלבן EFDA: אורכו של מלבן EFDA הוא 3/4 מ- x משום שרבע גזרו לכן אורכו (3/4)*x. רוחבו של מלבן EFDA הוא y.
לכן היקפו: 2x*(3/4) +2y

הביטוי האלגברי המתאר בכמה גדול היקף המלבן ABCD מהיקף המלבן EFDA הוא:

 


נפשט:


היקף המלבן ABCD גדול מהיקף המלבן EFDA ב-

פתרון שאלות 21-22 - מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010 - מלבנים וישרים מקבילים

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010

שאלה 21

 פתרון שאלה 21

א. 
הוכחה - זוית B1 ישרה
1: - זויות המלבן ישרות וזוית ABC היא זוית במלבן ABCD
 2: - זויות ABC, B1 הן זויות צמודות על ישר AK ולכן סכומן 180 מעלות
3:  - הצבת 1  ב- 2
4:  - נובע מ- 3
מ.ש.ל

ב.
הוכחה - זוית LPB ישרה

5: AK||ML - צלעות נגדיות במלבן AKLM מקבילות
 6: - נובע מ- 5 - זויות פנימיות מתחלפות בין מקבילים שוות (מקבילים AK||ML, חותך: BP)
 7: - הצבת 1 (מהוכחה סעיף א) ב- 6

מ.ש.ל


שאלה 22

נתון מלבן ABCD. הנקודה E אמצע הקטע AB, חיברו את הנקודה E עם קודקודי המלבן C, D.

 

א. נמקו מדוע משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים, כלומר ED = EC
ב. פי כמה גדול שטח המלבן ABCD משטח המשולש DEC?
תשובה: פי ______


פתרון שאלה 22

א. משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים, כלומר ED = EC

השיטה: חופפים משולשים EBC, EAD ע"י שוויון צלעות המלבן ABCD, הצלעות AD=DC, שיוויון הזויות הישרות A,B ושיוויון הקטעים AE=BE. מחפיפת משולשים EAD, EBC נובע שיוויון הצלעות EC=ED.

הוכחה:
 חפיפת משולשים EBC, EAD
1: AD = BC - צלעות נגדיות במלבן (ABCD) שוות
2: זוית B = זוית C - זוויות המלבן (ABCD) ישרות ולכן גם שוות
3: AE= BE - נתון

4: משולשים EBC, EAD חופפים - נובע מ- 1,2,3 צ.ז.צ

5: EC = ED - נובע מהחפיפה, הצלעות מול הזוויות השוות B,A
לכן משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים.

מ.ש.ל

ב. פי כמה גדול שטח המלבן ABCD משטח המשולש DEC?

 

השיטה: בונים בניית עזר גובה למשולש DEC מקודקוד E לצלע CD שחותך אותה בנקודה F. מוכיחים שגובה המשולש EF שווה לגובה BC של המלבן ABCD, ומאחר ולמשולש DEC ולמלבן ABCD אותו בסיס CD אזי שטח המשולש שווה מחצית שטח המלבן.

הוכחה:

1: השטח S של מלבן ABCD שווה מכפלת גובהו BC בבבסיסו CD כלומר S = BC * CD

2: השטח S2 של משולש DEC שווה למחצית מכפלת בסיסו CD בגובהו EF כלומר S2 = CD * EF /2

3: המרובע BEFC הוא מלבן מאחר וזויותיו ישרות - זויות B, BCF הן זויות מלבן ABCD, זוית EFC מבניית עזר, וזוית BEF שווה 90 מעלות משלימה ל- 360 מעלות את שאר זויות המרובע BEFC.
4:  BC = EF - נובע מ- 3
5: השטח S2 של משולש DEC שווה : S2 = CD * BC /2 - הצבת 4 ב- 2

6: שטח מלבן ABCD שווה פעמיים שטח משולש DEC -- נובע מ-1  ו-5

מ.ש.ל

היקף משולש ובעייה כללית - ממבחן מפמ"ר כיתה ז 2010

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010


שאלה 19

לפניכם משולש שהיקפו 35 ס"מ. חשבו את אורכי הצלעות של המשולש על פי הנתונים שמסומנים על הסרטוט.

אורכי הצלעות:

_________ ס"מ, _________ ס"מ, _________ ס"מ.

בדקו את תשובתכם, הציגו את דרך הבדיקה.


פתרון שאלה 19

אורכי צלעות המשולש (כל המידות בס"מ): x , x+3 , 2x

היקף המשולש הוא סכום אורכי הצלעות ושווה 35 ס"מ, נרשום משוואה:
x +(x+3) + 2x = 35

נפתור את המשוואה:
x +(x+3) + 2x = 35
x + x + 3 + 2x = 35
4x = 35 - 3
4x = 32
x = 32/4 = 8

 כפי שנתון אורכי הצלעות  x , x+3 , 2x . נציב x = 8 ונקבל אורכי הצלעות
x = 8 - צלע אחת
x+3 = 8+3 = 11 - צלע שניה
2x = 2*8 = 16 - צלע שלישית

קיבלנו אורכי צלעות 8 ס"מ, 11 ס"מ, 16 ס"מ.

נבדוק שסכומם (היקף המשולש) הוא 35 ס"מ:
8 + 11 + 16 = 35
אכן סכום אורכי הצלעות שחישבנו שווה 35 ס"מ. אורכי הצלעות שחישבנו נכונים.



שאלה 20

במסגרת פרויקט שיקום היער תכננו לנטוע עצים בשטח הררי בשורות כך שבכל
שורה יהיו 14 עצים.
לאחר שבחנו את השטח הוחלט לנטוע רק 10 עצים בכל שורה וכתוצאה מכך התקבלו 2 שורות יותר מאשר תוכנן בתחילה.
כתבו משוואה מתאימה שבאמצעותה אפשר לחשב כמה שורות של עצים נטעו בסופו של דבר.
x מייצג את _______________
המשוואה המתאימה ______________

פתרון שאלה 20

ניתן לתאר את השאלה בעזרת טבלה

בתחילה תכננו לבנות x שורות בכל שורה 14 עצים סה"כ 14x עצים.
בפועל בנו x+2 שורות בכל שורה 10 עצים.

x מייצג את מספר העצים בשורה שתכננו בתחילה
x+2   מספר שורות של עצים שנטעו בסופו של דבר

המשוואה המתאימה מתארת שיוויון של מספר העצים הקבוע שהיו בפרויקט, כלומר מספר סה"כ עצים שתכננו לנטוע בתחילה שווה לסה"כ העצים שנטעו בפועל:
14x = 10(x+2)

נפתור:
14x = 10(x+2)
14x = 10x+20
14x-10x=20
4x=20
x=20/4
x=5

בתחילה תכננו לנטוע 5 עצים בשורה, בפועל נטעו 7 עצים בשורה

פתרון שאלות 17-18 מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010 - גרף פונקציה, זויות קדקודיות וזויות צמודות

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010


 שאלה 17

פתרון שאלה 17

א.
נשרטט בגרף הפונקציה את מיקום ערכי x או y  ונמצא את הערך השני:

 ע"פ השלמת המיקומים בגרף ניתן להשלים את טבלת הערכים:

ב.
עבור x > 3 ניתן לראות כי ככל ש- x גדל y  קטן וזהו מאפיין של פונקציה יורדת. לכן עבור x >3 הפונקציה יורדת.

שאלה 18

פתרון שאלה 18

1: זויות אלפא ובטא קדקודיות ולכן שוות.
2: זוית אלפא צמודה לזוית 150 מעלות על ישר KL ולכן משלימה אותה ל- 180 מעלות, ולכן זוית אלפא שווה ל- 30 מעלות.
3: מכאן שגם ערך זוית בטא השווה לאלפא הוא 30 מעלות.- נובע מ- 1, 2
4: זוויות אלפא ובטא שוות 30 מעלות כל אחת וסכומן 60 מעלות.

פתרון שאלות 15-16 - מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010

שאלה 15

 

הנקודות A, B, C מונחות על ישר אחד.

BM חוצה את זווית EBC.

BD חוצה את זווית EBA.

∠MBC = 20⁰ , חשבו את ( ∠DBE) .

הציגו את דרך החישוב ונמקו את תשובתכם. 

 

פתרון שאלה 15

השיטה
נוכיח כי זוית DBM שווה 90 מעלות מאחר והיא מורכבת מחצאי זויות צמודות (זויות EBC, EBA שסכומן 180 מעלות). חצי EBC שווה 20 מעלות ולכן חצי EBA (שווה ל - x) שווה 70 מעלות.

הוכחה:

1: - הנקודות A, B , C על ישר אחד (נתון) לכן יוצרות זוית שטוחה
2: - נובע מ- 1
3:   - נובע מ- 2

4: אך: - נתון -  BM חוצה זווית  EBC , ו- BD חוצה זווית EBA


 לכן:
5:  - הצבת 4 ב- 3

6: - נתון - BM חוצה זווית  EBC

7: - נתון
8: - הצבת 7 ב- 6

9: - הצבת 8 ב- 5

10 : - נובע מ- 9

מ.ש.ל



שאלה 16

פתרון שאלה 16

נתבונן בציור הריבעים והגפרורים, וננסה למצוא הקשר בין מספר הריבועים למספר הגפרורים. כדי לבנות הריבוע הראשון נדרשים 4 גפרורים וכל ריבוע נוסף יש להוסיף 3 גפרורים. נבדוק:
כדי לבנות  1 ריבוע  נדרשים 4 גפרורים
כדי לבנות 2 ריבועים נדרשים 7 גפרורים
כדי לבנות 3 ריבועים נדרשים 10 גפרורים
כדי לבנות 4 ריבועים נדרשים 13 גפרורים (כפי שמופיע בציור)

נסכם שכדי לבנות n ריבועים נדרשים 3n+1 גפרורים.

א.
כדי לבנות 5 ריבועים נציב בנוסחה לעיל n=5:
 
 נדרשים 16 גפרורים לבנות 5 ריבועים.

ב.מספר הריבועים המסודרים בשורה שניתן לבנות בדרך זאת בעזרת 82 גפרורים

 כאמור מצאנו הקשר בין מספר הגפרורים למספר הריבועים: כדי לבנות n ריבועים נדרשים 3n+1 גפרורים. כלומר 3n+1 = 82 .
נחלץ את n (מספר הריבועים המתקבל מ- 82 גפרורים) :


 בעזרת 82 גפרורים ניתן לבנות 27 ריבועים.

פתרון שאלות 13-14 - מבחן מפמ"ר כיתה ז 2010

מתוך מבחן מפמ"ר לכיתה ז , 2010

שאלה 13

פתרון שאלה 13


השיטה
נמצא את זוית B ע"י מציאת זוית CKB (קודקודית לזוית נתונה AKD). נמצא את זוית B במשולש ישר זוית CKB לפי שידועות לנו שתי זויות (זוית C וזוית CKB) וסכום השלשה (כולל זוית B) שווה 180 מעלות

הוכחה:
1:   - נתון

2: - קודקודיות

3: - נובע מ- 1 ו-2

נתבונן במשולש CKB.

4: - נתון
5: - הוכח ב- 3
6: - סכום זויות במשולש (CKB) שווה 80 מעלות

7: - הצבת 4,5 במשוואה 6

נפתור משוואה 7 וחלץ זוית C:

שאלה 14

סכום שלושה מספרים הוא 18, אחד המחוברים הוא 7.
הציעו שני מספרים מתאימים כך שאחד מהם הוא מספר שלילי.

18 = ________ + ________ + 7

פתרון שאלה 14


ישנם איסוף פתרונות לשאלה, נתייחס אל פתרון אחד.
נבחר מספר שלילי (1-) ונפתור כדי למצוא המספר השני:




המשוואה לאחר בחירת 2 המספרים: (1-) , 6