אמצע קטע במערכת צירים

נתון קטע AB במערכת צירים ששיעורי קצותיו:

A(x₁ , y₁) , B(x₂, y₂)

גיאומטריה אנליטית - נקודה M אמצע קטע AB

 

M היא נקודת אמצע הקטע AB, שיעורי הנקודה  M(x_M  ,  y_M) :

x_M = ½ ᐧ  (x₁ + x₂)  = ½ ᐧ (x_A + x_B) 

y_M = ½ ᐧ  (y₁ + y₂)  = ½ ᐧ (y_A + y_B)

דוגמא

קטע AB במערכת צירים ונקודת האמצע M.

נתון קטע AB במערכת צירים ששיעורי קצותיו:

A(4, 2) , B(-2 , -1)

מצא את שיעור הנקודה M אמצע הקטע AB

פתרון:

ע"פ נוסחת אמצע קטע , נחשב את שיעורי הנקודה M :

x_M = ½ ᐧ (x_A + x_B) = ½ ᐧ [4 + (-2)] = 2 / 2 = 1

y_M = ½ ᐧ (y_A + y_B) = ½ ᐧ [2 + (-1)] = ½ = 0.5

שיעור הנקודה M אמצע הקטע AB  הוא: M(1 , ½)

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

נתון:

מערכת צירים שציריה x,y ובה נקודות A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂) .

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

צריך להוכיח:

המרחק d בין הנקודות A,B שווה:

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

         _________________

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

השיטה

נבנה בניית עזר אנכים מהנקודות A,B לצירים, ייווצר משולש ABC ישר זווית שצלעותיו הפרשי קואורדינטת x וקואורדינטות y של הנקודות A,B. בעזרת משפט פיתגורס נחשב אורך d המרחק בין הנקודות A,B.

 

ב.ע

בונים אנכים מנקודות A,B לצירים x,y, נוצר משולש ישר זווית ABC (זווית C ישרה)

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

הוכחה

זוית C ישרה - נוצרה מאנכים לצירים x,y שהם אנכים אחד לשני

1: AC = x₂ - x₁ - קטע AC מקביל לציר x ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה x של נקודות A,B

2: BC = y₂ - y₁ - קטע BC מקביל לציר y ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה y של נקודות C,B

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית ABC (סכום ריבועי הניצבים BC, AC שווה לריבוע היתר AB)

d² = AB² = BC² + AC²

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - נובע מ- 1 ו- 2

ולכן:

         _________________

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

דוגמא

מצא את המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3)

פתרון

נבחר את נקודה A כנקודה 1 ואת נקודה B כנקודה 2, אין מניעה לבחירה הפוכה התוצאה תהיה זהה.

נציב בנוסחה  

         _________________

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

ונקבל:

         _______________

d = √[1 - (-4)]² + (4 - 3)²

         _____

d = √5² + 1²

         __

d = √26

המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3) הוא  (26)√

נציג את הנקודות A, B במערכת צירים ואת המרחק ביניהן:

מרחק בין שתי נקודות A(1,4) , B(-4,3) במערכת צירים

פתרון שאלה 2 מבחן מתמטיקה כיתה י , 4 יחידות 2013 - חקירת פונקציה ריבועית עם מקדמים פרמטריים

 לצפיה במבחן הקלק כאן

שאלה מספר 2

נתונה פונקציה : , כאשר  .
א. עבור אילו ערכי m יש לגרף הפונקציה ולציר ה-X שתי נקודות משותפות?
ב. עבור אילו ערכי m יש לגרף הפונקציה ולציר ה-X נקודה משותפת אחת?
ג. עבור אילו ערכי m אין לגרף הפונקציה ולציר ה-X אף נקודה משותפת?

פתרון שאלה מספר 2

 א.
הפונקציה   הינה פונקציה ריבועית. לפונקציה שתי נקודות חיתוך עם ציר x (כלומר שני פתרונות ממשיים) כאשר הדיסקרמיננטה גדולה מ- 0 כלומר עבור ערכי m המקיימים:
 
 נפשט ונפתור:


לגרף הפונקציה    יש 2 נקודות משותפות עם ציר X עבור m קטן מ- 3 וגדול מ- 6.333-


ב.
הפונקציה   הינה פונקציה ריבועית. לפונקציה נקודת חיתוך אחת עם ציר x (כלומר פתרון ממשי אחד) כאשר הדיסקרמיננטה שווה ל- 0 כלומר עבור ערכי m המקיימים:

ע"פ סעיף א פתרון ערכי m המשוואה לעיל הם m=3 או  m=-6.3333
כלומר לפונקציה פתרון ממשי אחד עבור m=3 או  m=-6.3333.


ג.
לפונקציה אין נקודות חיתוך עם הצירים (כלומר אין פתרונות ממשיים) כאשר הדיסקרמיננטה קטנה מ- 0 כלומר עבור ערכי m המקיימים:

ע"פ סעיף א פתרון ערכי m המשוואה לעיל הם m>3 או  m<-6.3333

הסתברות - דיאגרמת עץ

בדיאגרמת עץ משתמשים בניסוי אקראי עם מספר שלבים וזה מסייע לנו לאתר הסתברות של ארועים בעלי מכנה משותף כלשהו.
ניקח לדוגמה ניסוי של הטלת מטבע שלש פעמים.  תוצאה אפשרית של הניסוי היא ראש, ראש זנב נסמן תוצאה זאת {HHT)
כל התוצאות האפשריות ניתן לשרטט בדיאגרמת עץ:

דיאגרמת עץ - הטלת מטבע שלש פעמים

ישנן 8 תוצאות אפשריות כאשר לכל תוצאה הסתברות שווה 1/8

נניח ברצוננו לבדוק מה ההסתברות לקבל תוצאה של ראש בהטלה שניה. כל מה שעלינו לעשות הוא לספור מספר תוצאות ראש בהטלה שניה ולחלק ב- 8 לקבלת ההסתברות.

דיאגרמת עץ - הטלת מטבע שלש פעמים - תוצאת ראש בהטלה שניה

 

מספר הפעמים שבהם מופיעה התוצאה ראש בהטלה שניה הוא 4 מתוך 8 תוצאות אפשריות. לכן ההסתברות לקבל ראש בהטלה שניה הוא 4/8 = 1/2

שתי משוואות פרמטריות של ישרים במערכת צירים - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות 2013

לצפיה במבחן הקלק כאן

שאלה מספר 1

נתונה מערכת המשוואות :  

(a - 2)x + 5y = a + 3

4x + (a - 3)y = 8

א. עבור איזה a אין פתרון למערכת משוואות? מהי משמעות הגאומטרית?
ב. עבור איזה a יש למערכת אין סוף פתרונות? מהי משמעות הגאומטרית?
ג. עבור איזה a יש למערכת פתרון יחיד? מהי משמעות הגאומטרית?

פתרון שאלה מספר 1

א.
נניח ישר שמשוואתו y = ax + b , הפרמטר a מציין שיפוע הישר במערכת הצירים והפרמטר b מציין נקודת חיתוך עם ציר y.

לשני ישרים במערכת צירים אין פתרון כאשר אין להם נקודות חיתוך משותפות, כלומר מקבילים ובעלי נקודת חיתוך שונה עם ציר y. אם הישרים מקבילים ובעלי אותה נקודת חיתוך עם ציר y הרי זה אותו ישר ולכן יש אינסוף פתרונות.

נפתור שתי המשוואות:

(a - 2)x + 5y = a + 3

4x + (a - 3)y = 8

5y = -( a - 2)x + a + 3 

(a - 3)y = 8 - 4x

y = -( a - 2)x / 5 + (a + 3) / 5

y = -4x / (a - 3) + 8 / (a - 3)

נשווה בין מקדמי x של הישרים ונפתור:

-(a - 2) / 5 = -4 / (a - 3)

(a - 2)(a - 3) = 20

a² -5a + 6 = 20

a² - 5a - 14 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית שפתרונה:

a1 = 7

a2 = -2

עבור a = 7 המשוואות יראו כך:

y = -x +2
y = -x +2

אלו שני ישרים מקבילים בעלי אותה נקודות חיתוך עם ציר y ולכן גם זהים ולמערכת יש אינסוף פתרונות.

עבור a = -2 המשוואות יראו כך:
y = (4/5)x + 1/5
y = (4/5)x - 8/5

אלו שני ישרים בעלי אותו שיפוע את נקודת חיתוך שונה עם ציר y ולכן השירים שונים ולמערכת אין פתרונות

ב. ראה התשובה בסעיף א.

ג. למערכת פתרון יחד עבור כל ערך של a שונה ממה שמצאנו בסעיפים א,ב כלומר עבור a  שונה מ- 7 ומ - (1-).

המשמעות הגיאומטרית היא שני ישרים במערכת צירים בעלי שיפועים שונים ונחתכים בנקודה אחת .

הסתברות - משתנה אקראי, פונקציית התפלגות ומרחב מדגם

נניח שאנו מבצעים ניסוי עם מספר סופי של תוצאות אפשריות, שנסמן אותן באותיות w1, w2, ...

 לדוגמא, הטלת קובייה התוצאות האפשריות הן 1,2,3,4,5,6 או בהטלת מטבע יש שתי תוצאות אפשריות H - ראש או T - זנב.

סימון לעתים קרובות שימושי כדי  להתייחס לתוצאה של ניסוי. לדוגמה, אנו עשויים רוצה לכתוב הביטוי המתמטי אשר נותן את הסכום של ארבע הטלות של קובייה. לשם כך, אנחנו נוכל לכתוב את הביטוי:
 Xi , i = 1,2,3,4 מייצג את הערכים של התוצאות של 4 תוצאות.
 ואז נוכל לכתוב את הביטוי X1 + X2 + X3 + X4 ,  הסכום של ארבע תוצאות.

המשתנה Xi המייצג תוצאה אפשרית של הניסוי נקרא משתנה מקרי או משתנה אקראי.  משתנה אקראי הוא ביטוי המייצג תוצאה של ניסוי מסוים. בדיוק כמו במקרה של סוגים אחרים של משתנים במתמטיקה, משתנה מקרי יכול לקבל ערכים שונים.

נניח ש- X הוא  משתנה אקראי המייצג תוצאה כלשהי של הטלת קובייה. נסמן גם את ההסתברויות של  התוצאות האפשריות של ניסוי זה. אנו עושים זאת על ידי הקצאה לכל תוצאה wi מספר לא שלילי m(wi)  כך ש:
 m(w1) + m(w2) + m(w3) + m(w4) + m(w5) + m(w6) = 1

הפונקציה m(wi) נקראת פונקציית התפלגות של משתנה אקראי  X.

עבור המקרה של הטלת קוביה אנו מסמנים הסתברויות שוות או הסתברות 1/6 עבור כל אחת מהתוצאות.

 אפשר לכתוב P(X<4) = 1/2 כלומר ההסתברות לתוצאות קטנות מ- 4 (1,2,3) בהטלת קוביה היא 1/2.

משתנה אקראי ומרחב מדגם - הגדרה

נניח ניסוי שתוצאותיו תלויות באופן אקראי. תוצאות הניסוי מיצגות ע"י אות X, הנקרא משתנה אקראי. 
 מרחב המדגם של הניסוי הוא אוסף כל התוצאות אפשריות.  
אם מרחב המדגם הוא סופי או אינסופי  המשתנה המקרי דיסקרטי

דוגמא:

מטילים קוביה פעם אחת. X מייצג תוצאות אפשריות של ההטלה מרחב המדגם הוא הקבוצה בעלת 6 האלמנטים: {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } = T
אם נניח הקוביה הוגנת אזי קיים סיכוי שווה לכל תוצאה. אנו אומרים כי קיימת הסתברות שווה לקבל תוצאה של כל אחד מהאלמנטים.
הקבוצה { 2 ,4, 6} היא תת קבוצה של מרחב המדגם לעיל ומציינת אירוע של תוצאה זוגית.

הגדרת פונקציית התפלגות

נניח משתנה מקרי X המייצג תוצאה אפשרית w של ניסוי. ומרחב מדגם T הוא קבוצה המכילה כל התוצאות האפשריות של X.
פונקציית ההתפלגות של X היא פונקציה המקבלת ערכים ממשיים והתחום שלה הוא מרחב המדגם T.
פונקציה זאת מקיימת:
1. m(w) >=0
2. סכום כל ה- m(w) שווה 1. עבור כל אלמנט w ב- T.
3. תת קבוצה E המורכבת ממספר אלמנטים w של T , ההסתברות לתת קבוצה E מסומנת P(E) ושווה לסכום ה- m(w) עבור כל אלמנט w המרכיב את E.