מקבילית במערכת צירים - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014

שאלה 3

בציור שלפניך נתונה מקבילית ABCD.

שיעור הקדקודים A ו- B של המקבילית הם:

(0, 2-)A 

(8, 0) B 

הקדקד D נמצא על ציר ה - x.

א. נתון כי אורך הצלע AD הוא 12.

    מצא את שיעור ה- x של הנקודה D. 

ב. 1. מצא את שיפוע הישר AB.

    2. מצא את שיפוע הישר CD , נמק.

ג. מצא את משוואת הישר CD.

מקבילית ABCD

פתרון

א. נסמן את ראשית הצירים באות O. שיורי הנקודה ( A  (-2,0 לכן  AO = 2.
AD = 12 ע"פ נתוני השאלה בסעיף א
מאחר ו:     AD - AO = DO
נובע כי  DO = 12 --2 = 10
מכאן   ( D (10, 0, ולכן שיעור ה- x של D הוא 10

ב.1. שיפוע הישר AB - שיפוע של ישר במערכת צירים הוא המנה בין הפרשי שיעורי y של שתי נקודות על הישר לבין שיעורי x של אותן שתי נקודות בהתאמה.
ידועות לנו הנקודות A, B לכן שיפוע AB:
(A (-2 , 0 , ושיעור ( B (0, 8
לכן שיפוע AB : 

(8 - 0) / [0 - (-2)]  = 8 / 2 = 4

שיפוע AB הוא 4 .

ב.2 מציאת שיפוע הקטע CD:

שיפוע ישר במערכת צירים הוא טנגנס הזוית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- x. ישרים מקבילים יוצרים אותה זוית עם ציר x (זויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות) ולכן השיפוע שלהם שווה.

במקרה שלנו
 CD||AB - נתון
מכאן:  - זויות מתאימות בין המקבילים AB, CD

לכן הישרים AB, CD בעלי אותו שיפוע - יוצרים אותה זוית עם הכיוון החיובי של ציר x.

שיפוע CD שווה גם הוא ל- 4

ג. משוואת הישר CD:

משוואת ישר במערכת צירים מתוארת ע"י הפונקציה: y = ax +b
כאשר a הוא השיפוע ו- b היא נקודת חיתוך עם ציר y.

במקרה הישר CD, השיפוע a שווה ל- 4 , a = 4, כפי שמצאנו ב- ב.2.

לכן משוואת הישר היא y = 4x +b

מציאת b:

הישר CD עובר דרך נקודה D . נציב במשוואת הישר.
שיעורי הנקודה D מצאנו ב- א    ( D (10, 0

הצבת שיעורי D במשוואת הישר CD:
0 = 4ᐧ10 + b

b = -40

ולכן משוואת הישר CD היא:  y = 4x - 40

מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014

שאלה 1

קבוצה של 20 מבקרים ובה מבוגרים וילדים ביקרה במוזאון.

מחיר הכניסה למוזאון הוא 15 שקלים למבוגר ו- 10 שקלים לילד.

הקבוצה שילמה בסך בכל 270 שקלים דמי כניסה.

א.    מצא כמה מבוגרים היו בקבוצה.

ב.    מצא כמה ילדים היו בקבוצה.

לפתרון שאלה 1 הקלק כאן


 שאלה 2

 
הגרף שלפניך מתאר את המרחק שעברה רכבת שיצאה מתל אביב לנהריה לפי הזמן.

עיין בגרף וענה על סעיפים א, ב, ג, ד.

א. באיזו שעה הייתה הרכבת במרחק 30 ק"מ מתל אביב?

ב. באיזה מרחק מתל אביב הייתה הרכבת בשעה 11:00?

ג. באיזו שעה עצרה הרכבת, ולמשך כמה זמן?

ד. האם הרכבת המשיכה אחרי העצירה באותה מהירות שבה נסעה לפני העצירה? נמק.

לפתרון שאלה 2 הקלק כאן

שאלה 3

 

בציור שלפניך נתונה מקבילית ABCD.

שיעור הקדקודים A ו- B של המקבילית הם:

(0, 2-)A 

(8, 0) B 

הקדקוד D נמצא על ציר ה - x.

א. נתון כי אורך הצלע AD הןא 12.

    מצא את שיעור ה- x של הנקודה D. 

ב. 1. מצא את שיפוע הישר AB.

    2. מצא את שיפוע הישר CD , נמק.

ג. מצא את משוואת הישר CD.

מקבילית ABCD במערכת צירים

לפתרון שאלה 3 הקלק כאן

שאלה 4

 

נתונה סדרה חשבונית שאיברה השלישי שווה 45 (a3 = 45) והפרשה 5- (d = -5)
א. מצא את האיבר הראשון בסדרה.
ב. מצא את האיבר ה- 11 בסדרה.
ג. מצא את הסכום של 11 האיברים הראשונים בסדרה. 

לפתרון שאלה 4 הקלק כאן

סדרה חשבונית - מציאת איברים ראשון, אחרון וסכום - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014

שאלה 4

 

נתונה סדרה חשבונית שבה: 45 =  a₃ , d = -5
א. מצא את האיבר הראשון בסדרה.
ב. מצא את האיבר ה- 11 בסדרה.
ג. מצא את הסכום של 11 האיברים הראשונים בסדרה.

 

פתרון

א. האיבר ה- n בסדרה חשבונית נתון ע"פ הנוסחה:

a_n = a₁ + dᐧ(n - 1)

ולכן

a₃ = a₁ + dᐧ(3 -1)

ובהצבה:

45 = a₁ + [-5ᐧ(3 -1)]

נפתור ונקבל:

45 = a₁ - 10

a₁ = 55

האיבר הראשון בסדרה הוא 55.

ב. האיבר ה- 11 בסדרה ימצא ע"י ע"פ נוסחת האיבר ה- n

a_n  = a₁ + d(n-1)

נציב ונקבל:

a₁₁  = 55 + [-5(11-1)]

a₁₁  = 55 - 50

a₁₁  = 5

האיבר ה- 11 בסדרה הוא 5


ג. סכום סדרה חשבונית נתון בנוסחאות:

S_n = n[2a₁ + d(n - 1)] / 2

S_n = n(a₁ + a_n) / 2

S_n = n[2a_n - d(n - 1)] / 2

נשתמש בנוסחה אמצעית כלומר סכום 11 איברים ראשונים:

S_n = 11(a₁ + a₁₁) / 2

S_n = 11(55 + 5) / 2

S_n = 11 ᐧ 60 / 2

S_n = 330

סכום 11 האיברים הראשונים בסדרה הוא 330

מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014 - שאלה 2 - גרף לינארי של תנועת רכבת

שאלה 2

 

הגרף שלפניך מתאר את המרחק שעברה רכבת שיצאה מתל אביב לנהריה לפי הזמן.

עיין בגרף וענה על סעיפים א, ב, ג, ד.

א. באיזו שעה הייתה הרכבת במרחק 30 ק"מ מתל אביב?

ב. באיזה מרחק מתל אביב הייתה הרכבת בשעה 11:00?

ג. באיזו שעה עצרה הרכבת, ולמשך כמה זמן?

ד. האם הרכבת המשיכה אחרי העצירה באותה מהירות שבה נסעה לפני העצירה? נמק.

פתרון 

א. ע"פ הגרף בשעה 9:00 היתה הרכבת במרחק 30 ק"מ מתל אביב.

ב. ע"פ הגרף בשעה 11:00 היתה הרכבת במרחק 90 ק"מ מתל אביב.

ג. בין השעות 10:00 - 10:30 היתה הרכבת במצב עצירה למשך חצי שעה במרחק 60 ק"מ מתל אביב.

ד. לאחר העצירה היתה מהירות הרכבת גבוהה יותר.

לפני העצירה: הרכבת עברה מרחק 60 ק"מ במשך שעתיים משעה 8:00 עד 10:00 כלומר מהירותה היתה 30 קמ"ש.

לאחר העצירה: הרכבת עברה מרחק 60 ק"מ במשך שעה משעה 10:30 עד 11:30 כלומר מהירותה היתה 60 קמ"ש.

להלן גרף תנועת הרכבת:

גרף תנועת הרכבת

מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014 - שאלה 1 - בעיה כללית

שאלה 1

קבוצה של 20 מבקרים ובה מבוגרים וילדים ביקרה במוזאון.

מחיר הכניסה למוזאון הוא 15 שקלים למבוגר ו- 10 שקלים לילד.

הקבוצה שילמה בסך בכל 270 שקלים דמי כניסה.

א.    מצא כמה מבוגרים היו בקבוצה.

ב.    מצא כמה ילדים היו בקבוצה.

תשובה 1

נסמן ב- x את מספר המבוגרים בקבוצה

נסמן את מספר הילדים ב - y

מספר המבקרים בקבוצה הוא 20 לכן:

x + y = 20

הקבוצה שילמה סה"כ 270 שקלים לכן:

15x + 10y = 270

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:

x + y = 20
15x + 10y = 270

נפתור



בקבוצה 14 מבוגרים ו- 6 ילדים

משולשים - סוגים, היקף ושטח

משולשים שווי צלעות ושווי שוקיים 

משולש שווה צלעות שלושת הצלעות שוות שלושת הזוויות שוות	משולש שווה צלעות
משולש שווה שוקיים שתי זוויות שוות שתי צלעות שוות	משולש שווה שוקיים
משולש ללא שוויונות ללא צלעות שוות ללא זוויות שוות	משולש שונה צלעות

משולשים עם סוגי זוויות שונות

 

משולש חד זווית כל הזויות חדות - קטנות מ- 90 מעלות	משולש חד זווית
משולש ישר זוית בעל זווית ישרה	משולש ישר זווית
משולש קהה זווית בעל זווית קהה גדולה מ- 90 מעלות

היקף המשולש

היקף המשולש הוא סכום צלעותיו. לדוגמא נתון משולש וחישוב היקפו.

חישוב היקף משולש

דוגמה נוספת לחישוב היקף משולש

 

חישוב היקף משולש

 

שטח משולש

שטח המשולש = מחצית מכפלת הבסיס בגובה

נסמן:

שטח המשולש הוא מחצית מכפלת הבסיס בגובה.
b - אורך הבסיס
h - אורך הגובה לבסיס b

A - שטח המשולש

A = ½ × b × h

דוגמא פתורה:

מהו שטח המשולש?

שים לב כי הגובה הוא 12 = h
אורך הבסיס: b = 20

שטח המשולש A:
A = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

דוגמאות נוספות לחישוב שטחי משולשים:

דוגמה לחישוב שטח משולש

דוגמה לחישוב שטח משולש

הגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנס, סקנס, וקוסקנס

משולש ישר זווית מורכב מזוית אחת של 90 מעלות ושתי זוויות חדות. לכל זוית חדה יש מאפיינים של סינוס, קוסינוס וטנגנס.
 סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה של משולש ישר זוית מראים את יחסיהם של שניים משלוש הצלעות של המשולש.

 

משולש ישר זוית

הסינוס של הזווית הוא היחס בין אורך הניצב מול הזוית לבין היתר :  sin(𝜶) = a / c 

הקוסינוס של הזווית הוא היחס בין אורך הניצב הסמוך לזוית לבין היתר : cos(𝜶) = b / c

הטנגנס של זוית הוא היחס בין הניצב מול הזוית לניצב הסמוך לזוית : tan(𝜶) = a / b

פונקציות טריגונומטריות של זויות נוספות

ניתן להגדיר ערכי פוקציות סינוס קוסינוס, טנגנס ועוד גם לזויות שאינן חדות, אלא קהות, שליליות ועוד. נעשה זאת ע"י שנמקם את הזוית במעגל שרדיוסו r ואז נגדיר את הפונקציה הטרגונומטרית של הזוית ע"פ הקורדינטות x,y של נקודה P.

nגדירים את הפונקציה הטרגונומטרית של הזוית ע"פ הקורדינטות x,y של נקודה P והרדיוס r

להלן ההגדרות מורחבות של הפונקציות הטריגונומטריות:

מתקבלות הזהויות הבאות:

שטחים של צורות גיאומטריות

שטחים של צורות גיאומטריות: משולש, מלבן, ריבוע, מעגל, טרפז, מקבילית, גיזרת עיגול, אליפסה

הצגה פרמטרית שטח מלבן ואורך יתר במשולש ישר זוית - כיתה ט , 5 יחידות

שאלה

נתון

(a + b)² = 196

(a - b)² = 4

א. מצאו את שטח המלבן שאורך צלעותיו הם a ו- b, בלי לחשב את ערכי a ו- b.

ב.  מצאו את אורך היתר של משולש ישר זוית שאורכי ניצביו הם a ו- b , בלי לחשב את ערכי a ו- b.

פתרון

א. שטח המלבן S הוא מכפלת צלעותיו, כלומר S = a ᐧ b

נפתח את הפיתוח הבא:

(a + b)² - (a - b)² = [(a + b) + (a - b)] * [ (a + b) - (a - b)]

 = 2a * 2b = 4ab

כלומר:

(a + b)² - (a - b)² = 194 - 4 = 192 = 4ab

ab = 48 = S =  שטח המלבן

לכן שטח המלבן שווה 48.

 ב. אורך היתר של משולש ישר זוית

ע״פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית שאורכי ניצביו הם a ו- b , היתר c שווה ל:

c² = a² + b²

c = sqrt(a² + b²)

sqrt -  שורש ריבועי

נפתח את הפיתוח הבא:

(a + b)² + (a - b)² = a² + 2ab + b^2 + a² - 2ab + b² = 2(a² + b²)

כלומר:

(a + b)² + (a - b)² = 196 + 4 = 200 = 2(a² + b²)

a² + b² = 100 = c²

c = 100

אורך היתר הוא 10