פתרון שאלה 5 מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015 - הסתברות וסטטיסטיקה

שאלה 5 

 

לכל אדם יש אחד מסוגי הדם האלה: A , B , AB , O

 ל- 40% מהאוכלוסייה (בקירוב) יש סוג דם A.

 ל- 20% מהאוכלוסייה (בקירוב) יש סוג דם B.

 ל- 5% מהאוכלוסייה (בקירוב) יש סוג דם AB.

א. לכמה אחוזים מהאוכלוסייה יש סוג דם O?

ב. בעל סוג דם B יכול לקבל דם מבעל סוג דם O ומבעל סוג דם B בלבד.

    מהי ההסתברות שתורם אקראי יוכל לתרום לבעל סוג דם B?   

ג. בעל סוג דם B יכול לתרום דם לבעל סוג דם AB ולבעל סוג דם B בלבד.

    מהי ההסתברות שתורם בעל סוג דם B יוכל לתרום לאדם אקראי?  

ד. בעל סוג דם O יכול לקבל דם מבעל סוג דם O בלבד.

    מהי ההסתברות שתורם אקראי יוכל לתרום דם לבעל סוג דם O?

ה.  בעל סוג דם O יכול לתרום לכולם.

 מהי ההסתברות שתורם בעל סוג דם O יוכל לתרום לאדם אקראי?

פתרון

 א. ע"פ נתוני השאלה התפלגות סוגי הדם באוכלוסיה היא:

שיעור באוכלוסיה ..... סוג דם
 40% ...................... A
20% ........................ B
5% ......................... AB

מאחר ולכל אדם יש אחד מסוגי דם אלה: A, B, AB, O

שיעור האוכלוסייה עם סוג דם O הוא:

100% - 40% - 20% - 5% = 35%

ל- 35% - מהאוכלוסייה יש סוג דם O.

ב. ל- 35% מהאוכלוסייה יש סוג דם O, ול- 20%  מהאוכלוסייה יש סוג דם B. ההסתברות שתורם אקראי מהאוכלוסייה הוא סוג דם B או O הוא: 35% + 20% = 55%

התשובה היא 55%.

 

ג. בעל סוג דם B יכול לתרום דם רק לבעל סוג דם B או AB.

מכיוון של- 20% + 5% = 25% מהאוכלוסייה יש סוג דם B או AB, ההסתברות היא 25% = 0.25.

תשובה: ההסתברות היא 0.25.

ד. בעל סוג דם O יכול לקבל דם רק מבעל סוג דם O. מכיוון של- 35% מהאוכלוסייה יש סוג דם O, הם יכולים לתרום דם לבעל סוד דם O.

ההסתברות היא: 35% = 0.35.

ה. בעל סוג דם O יכול לתרום לכולם, לכן אם נבחר אדם באקראי בעל סוג דם O יוכל לתרום לו בוודאות. לכן ההסתברות שתורם בעל סוג דם O יוכל לתרום לאדם אקראי היא 100% = 1.

 

פירמידה ישרה שבסיסה מלבן - הנדסת המרחב - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה 4

 
הבסיס ABCD של פירמידה ישרה SABCD הוא מלבן. SH הוא גובה הפירמידה (ראה ציור).

נתון (מידות בס"מ):
AD = 16
AB = 26
SH = 28

א. חשב את אורך האלכסון של בסיס הפירמידה.
ב. חשב את האורך של מקצוע צדדי של הפירמידה.
ג. חשב את גודל הזווית שבין מקצוע צדדי ובין בסיס הפירמידה.

 

פתרון שאלה 4

א. נתון כי בסיס הפירמידה ABCD הוא מלבן שצלעותיו AB = 26 , AD = 16  (המידות בס"מ)
לכן BD אלכסון בסיס הפירמידה הוא אלכסון מלבן ABCD ויתר במשולש ABD (אלכסון המלבן מחלק אותו לשני משולשים ישרי זוית).
ע"פ משפט פיחגורס במשולש ישר זוית ABD ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים:

BD² = AB² + AD² = 26² + 16² = 676 + 256 = 932

BD = √932 = 30.53

אורך אלכסון בסיס הפירמידה הוא 30.53 ס"מ

ב. לחישוב אורך מקצוע צדדי נתבונן במשולש SHB. המשולש ישר זוית משום שנתון כי SH הוא גובה הפירמידה ולכן אנל לכל הישרים במישור ABCD ובתוכם BH.
 נקודה H היא אמצע האלכסון BD מאחר והפירמידה ישרה. לכן BH = BD/2 = 30.53/2 = 15.265
ע"פ משפט פיחגורס במשולש ישר זוית SHB ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים:

∆ SDH

SD² = SH² +HD²

SD^2 = 28² + 15.26²

SD = √1017

SD = 31.89

אורך המקצוע הצדדי הוא 31.89 ס"מ.

ג. חישוב הזווית שבין מקצוע צדדי ובין בסיס הפירמידה

הפירמידה ישרה ולכן מקצועותיה שווים. בסיס הפירמידה מלבן לכן מטעמי סימטריה כל מקצועותיה יוצרים זויות שוות עם בסיסה. נתייחס אל המקצוע SB.
הזוית בין המקצוע לבסיס היא הזוית בין המקצוע להיטלו על הבסיס. במקרה שלנו ההיטל הוא BH משום ש- SH מאונך לבסיס ויוצר את ההיטל BH.

במשולש SHD

sin∢SDH = SH / SD

sin∢SDH = 28 / 31.89

sin∢SDH = 61.4°

הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה שווה 61.40° .
 

חישובים בטרפז - טריגונומטריה - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה מספר 3

 

 בטרפז ABCD  שבו AD||BC   נתון:

22 ס"מ  = AB.

(ראה ציור)

א. חשב את גובה הטרפז.

ב. חשב את אורך השוק DC.

ג. נתון גם: 12 ס"מ = AD.

חשב את אורך הבסיס BC.

פתרון שאלה 3

 
בניית עזר: מורידים אנך מנקודה A ל- BC בנקודה P, ואנך מנקודה D ל- BC בנקודה Q.
נוצר מרובע ADQP שבו צלעות נגדיות מקבילות וצלעות סמוכות מאונכות לכן מרובע ADQP הוא מלבן.

א. גובה הטרפז הוא המרחק בין שני בסיסיו המקבילים כלומר AP. במשולש ABP:

גובה הטרפז הוא 14.14 ס"מ.

ב. מאחר ו- ADQP מלבן אזי AP = DQ = 14.14 , במשולש DQC:


אורך השוק DC הוא 28.28 ס"מ

ג. נחשב את אורך הבסיס הגדול.

 

כיוון שמרובע ADFE הוא מלבן, הרי שגם EF =   ס״מ  12 .

 

אורך הבסיס הגדול הוא: 

16.85 + 12 + 24.49 = 53.34 ס"מ

תשובה: אורך הבסיס הגדול הוא 53.34 ס"מ.

סדרה הנדסית - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה מספר 2

 

ההיקפים של משולשים שווי צלעות מהווים סדרה הנדסית עולה (ראה ציור).

בסדרה 8 משולשים.

 

אורך הצלע של המשולש הראשון הוא 3 ס"מ, ואורך הצלע של המשולש השני הוא 6 ס"מ.

א. מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה?

ב. מהו ההיקף של המשולש האחרון בסדרה?

ג. מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים?

רקע סדרה הנדסית:

 סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם  הוא האיבר הראשון ו־ q היא מנת הסדרה, האיבר ה־ n-י נתון על ידי הנוסחה:  a_n = a₁ ᐧ q^n-1

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־-י (כולל) בעזרת הנוסחה :  S_n = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

פתרון שאלה 2

א. היקפי המשולשים מהווים סדרה הנדסית. נחשב תחילה את האיבר הראשון בסדרה a₁ ואת מנת הסדרה q.
אורך צלע המשולש הראשון הוא 3 ס"מ וכל המשולשים שווי צלעות לכן היקף המשולש הראשון הוא 9 ס"מ וזהו גם האיבר הראשון בסדרה a₁ = 9.
אורך צלע המשולש השני הוא 6 ס"מ לכן היקפו הוא 18 ס"מ: a₂ = 18
מנת הסדרה q היא המנה בין מספר בסדרה לקודמו:   

q = a₂ / a₁ = 18 / 9 = 2

לכן מנת הסדרה q = 2
היקף המשולש השלישי בסדרה הוא האיבר השלישי בסדרה ההנדסית:   

a₃ = a₁ ᐧ q² = 9 ᐧ 2² = 36

ב. היקף המשולש האחרון בסדרה הוא האיבר השמיני בסדרה ההנדסית:

a₈ = a₁ ᐧ q⁷ = 9 ᐧ 2⁷ = 1152

ג. סכום ההיקפים של שמונת המשולשים הוא סכום שמונת  האיברים בסדרה ההנדסית:

S₈ = a₁ ᐧ (q⁸ - 1) / (q - 1)

S₈ = 9 ᐧ (2⁸ - 1) / (2 - 1) = 9 ᐧ 255 = 2295

פרבולה - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2015

שאלה מספר 1

 

בסרטוטים שלפניך מוצגים שני גרפים, (1) ו- (2), 

של הפונקציות:  f(x)= x² - 6x

                         g(x) = -x² +5x +6

 

א. מבין הגרפים , (1) ו- (2) , איזה גרף הוא של הפונקציה f(x) , ואיזה גרף הוא של הפונקציה g(x)? נמק.

ב.שני הגרפים נחתכים בנקודות B ו- D, כמתואר בציור.

מצא את השיעורים של הנקודה B ואת השיעורים של הנקודה D.

ג. עבור אילו ערכים של x גרף (2) נמצא מעל גרף (1)?

 

פתרון שאלה מספר 1

 1. לפונקציה ריבועית מהצורה   y = aᐧx² + bᐧx + c  (פרבולה) יש נקודת מינימום כאשר a > 0 ונקודת מקסימום כאשר a <0 .

לפונקציה  f(x) = x² - 6ᐧx  פרמטר a = 1 כלומר a > 0 ולכן לפונקציה נקודת מינימום. מכאן הגרף המתאים לפונקציה f הוא גרף מספר 1.

2.למציאת נקודות חיתוך בין שתי הפונקציות, נשווה ביניהן ונפתור את המשוואה המתקבלת:

f(x) = x² - 6x

g(x) = -x²  + 5x + 6

f(x) = g(x)

x² - 6x = -x²  + 5x + 6

2x² - 11x - 5 = 0

למשוואה ריבועית (משוואה ממעלה שניה) מהצורה:   y = aᐧx² + bᐧx + c

יש שני שורשים:


נפתור


נמצא את שיעורי y - עבור x1 = 6:

f(x) = x² - 6ᐧx

f(x1 = 6) = 6² - 6ᐧ6 - 36 - 36 = 0

נמצא את שיעורי y - עבור x2 = -0.5:

f(x2 = -0.5) = (-0.5)^2 - 6 * (-0.5) = 3.25

שיעורי הנקודות B, D:  


3. גרף 2 נמצא מעל גרף 1 בין הנקודות B ו- D כלומר עבור x: