סדרה הנדסית - בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019

מתוך בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 שאלון שני - שאלה 1

שאלה

נתונה סדרה הנדסית a_n שבה a₂ = 6 , a₅ = 162

א. מצא את מנת הסדרה ואת a₁.

סכום האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה הוא 1640.

ב. מצא את מספר האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה.

נתון כי מספר האיברים בסדרה הוא אי זוגי.

ג. מצא את מספר האיברים במקומות הזוגיים בסדרה.

הסדרה b_n היא סדרה הנדסית אין סופית. ובה:   b₁ = 5 / a₁  ,  b₂ = 5 / a₂.

ד. (1) מצא את מנת הסדרה b_n.

 (2) מצא את סכום הסדרה b_n.

פתרון

א. מציאת מנת הסדרה q ואיברה הראשון a₁.

נדרש למצוא את האיבר הראשון בסדרה a₁ ואת מנת הסדרה q .

על פי נוסחת האיבר ה- n-י  של סדרה הנדסית : a_n = a₁ ᐧ q^n-1

a₂ = a1 ᐧ q = 6

a5 = a1 ᐧ q⁴ = 162

קיבלנו 2 משוואות ב- 2 נעלמים:

 a₁ ᐧ q = 6

 a₁ ᐧ q⁴ = 162

 a₁ ᐧ q⁴ / (a1 ᐧ q) = 162 / 6

q³ = 27

q = 3

a₁ ᐧ q = 6

3 ᐧ a₁ = 6

a₁ = 2

ב. מספר האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה

סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1,640 .  נדרש למצוא את מספר האיברים האי זוגיים בסדרה. 

האיבר הראשון במקומות האי זוגיים הוא  a₁ = 2 , ומנת סדרת האי זוגיים היא 3² = 9.

סכום איברים בסדרה הנדסית נתון בנוסחה:  Sn = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

נציב: a₁ = 2 , q = 9 , Sn = 1640.

1640 = 2(9ⁿ - 1) / (9 - 1)  = 2(9ⁿ - 1) / 8 = (9ⁿ - 1) / 4

6560 = 9ⁿ - 1

9ⁿ = 6559

log 9ⁿ = log 6559

n ᐧ log 9 = log 6559

n = log 6559 / log 9 = 4

מספר האיברים במקומות האי זוגיים הוא n = 4.

ג. מספר האיברים במקומות הזוגיים בסדרה

נתון כי מספר האיברים בסדרה הוא אי זוגי, נדרש למצוא את מספר האיברים במקומות הזוגיים בסדרה.

כפי שמצאנו קודם , מספר המקומות האי זוגיים בסדרה הוא 4, ומאחר שמספר האיברים בסדרה הוא אי זוגי, ומכאן שמספר האיברים בסדרה סך הכל הוא 7. 4 איברים במקומות האי זוגיים ו- 3 איברים במקומות הזוגיים.

לכן. האיברים במקומות הזוגיים נמצאים במקומות 2, 4, 6 והם:

a₂ = 6

a₄ = a₂ ᐧ 3² =  6 ᐧ 9 = 54

a₆ = a₄ ᐧ 3² = 486.

סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא:

a₂ + a₄ + a₆ = 6 + 54 + 486 = 546

ד. מציאת מנת הסדרה b_n וסכומה.

הסדרה b_n היא סדרה הנדסית אין סופית. ובה:   b₁ = 5 / a₁  ,  b₂ = 5 / a₂.

נדרש למצוא את מנת הסדרה q_b ואת סכום הסדרה S_b.

כפי שנתון ומצאנו בסעיפים קודמים: a₁ = 2 ,  a₂ = 6.

לכן:

b₁ = 5 / a₁ = 5 / 2 = 2.5

b₂ = 5 / a₂ = 5 / 6

מנת הסדרה b_n היא :

q_b = b₂ / b₁ = (5/6) / 2.5 = 1 / 3

 מציאת מנת הסדרה b_n 

סכום S של סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון a₁ ומנתה q נתון בנוסחה :  S = a₁ / (1 - q)

נחשב את סכום הסדרה  b_n , חישבנו לעיל:

q_b = 1/3  , b₁ =  2..5

לכן:

S_b  = b₁ / (1 - q_b) = 2.5 / (1 - 1/3) = 2.5 / (2/3) = 3.75

 סכום הסדרה ההנדסית b_n הוא :  S_b  = 3.75

קישורים:

מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 - שאלון שני
שאלה 1 - סדרה הנדסית 
שאלה 2 - טריגונומטריה במרחב 
שאלה 3 - חקירת פונקציה טריגונומטרית
שאלה 4 - חקירת פונקציה אקספוננציאלית
שאלה 5 - חקירת פונקציה לוגריתמית