מכפלה סקלרית של וקטורים

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא סקלר השווה למכפלת גודלם כפול קוסינוס הזוית ביניהם.

דוגמא:
נניח וקטור A בגודל 5 יחידות ווקטור B באורך 7 יחידות. הזוית בין שני הוקטורים היא 45 מעלות. מהי מכפלתם הסקלרית?

פתרון

שני וקטורים באורך 5, 7 יחידות וזוית 45 מעלות ביניהם

המכפלה הסקלרᐧית של וקטורים A, B :

AᐧB = 5ᐧ7ᐧcos45⁰ = 24.75
 
חישוב מכפלה סקלרית  באמצעות רכיבים

לעיתים נתונים לנו רכיבי הוקטורים בכיווני הצירים. במצב זה רכיבי הצירים של המכפלה הסולרית שווה למכפלות רכיבי הצירים של הוקטורים בהתאמה.

דוגמא 
נתון וקטור P עם רכיב 5 יחידות בכיוון ציר x ורכיב 4 יחידות בכיוון ציר y :
P = 5i + 4j

נתון וקטור Q :
Q = 8i + 2j

וקטורים P, Q במערכת צירים

א. מה המכפלה הסקלרית של P ב- Q
ב. מה הזוית ⍺ בין P ל- Q

פתרון
א.
רכיב x של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי x  של P ו- Q.
רכיב y של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי y  של P ו- Q.

לכן המכפלה הסקלרית של P ב- Q:

PᐧQ = (5i + 4j)ᐧ(8i + 2j)

PᐧQ = 5ᐧ8 + 4ᐧ2 

PᐧQ = 48

ב. מציאת הזוית ⍺  בין P ל- Q

הגדרנו מכפלה סקלרית של וקטורים כמכפלת גודלם בקוסינוס הזוית ביניהם. לכן נכפיל את גדלי P, Q בקוסינוס הזוית ביניהם, נשווה לתוצאה המכפלה הסקלרית 48 שחישבנו ב- א ע"פ הרכיבים ונחלץ את הזוית ⍺ .
Q = 8i + 2j
P = 5i + 4j

גודלו של Q:

( sqrt - שורש ריבועי)

Q| = sqrt(8² + 2²) = sqrt(68) = 8.246|

גודלו של P: 

P| = sqrt(5² + 4²) = sqrt(41) = 6.403|

המכפלה הסקלרית בין הוקטורים P, Q היא:

עבודה

מבחינה פיסיקלית עבודה מוגדרת כמכפלה בין רכיב כוח המופעל למרחק פעולה. המונח רכיב מציין כי רק רכיב הכוח בכיוון התנועה מוכפל במרחק התנועה. העבודה מסומנת באות W והיא גודל סקלרי ונמדד בג'אול. הכוח והמרחק הם רכיבים וקטורים. הכוח מסומן באות F ומרחק התנועה של הגוף בכיוון הכוח הוא s.
העבודה היא מכפלה סקלרית של וקטור הכוח בוקטור מרחק התנועה:


דוגמא
נניח גוף בעל מסה m של 4 ק"ג נע 5 מטר לכיוון חיובי של ציר x . הכוח המופעל על הגוף הוא 5 ניוטון בכיוון 60 מעלות ביחס לכיוון חיובי של ציר x.

מה העבודה שבוצעה

פתרון

נשרטט את הגוף הכוח ומרחק התנועה:

כוח מופעל על מסה בזוית 60 מעלות ביחס לכוון התנועה למרחק 5 מטר

רכיב הכוח המופעל על הגוף בכיוון התנועה הוא
העבודה שנעשת כתוצאה מפעולת הכוח על הגוף לאורך 5 מטר היא:


מסת הגוף אינה רלוונטית בהינתן הכוח המופעל ומרחק התנועה.

משפט פיתגורס - בעיות פתורות

תרגיל 1

במשולש CDE נתון :  D = 90⁰  ,  CD = 14.83 mm , CE = 28.31 mm⦩

חשב את אורך DE

 פתרון תרגיל 1

נשרטט את משולש CDE ואת הנתונים

ע"פ משפט פיתגורס , במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, לכן:

CD² + DE² = CE²

14.83² + DE² = 28.31²

DE² = 581.5

DE = 24.11 mm

תרגיל 2

משולש PQR שווה שוקיים. זוית Q ישרה ואורך היתר 38.47 ס"מ. מצא:
א. אורכי הניצבים PQ ו- QR
ב. זוית QPR

פתרון תרגיל 2

נשרטט את המשולש

א. מאחר ומשולש PQR שווה שוקיים וזוית Q ישרה והואיל ויכולה להיות רק זווית ישרה אחת במשולש שמולה הצלע הגדולה במשולש. מכאן ש- PR הוא היתר ו- PQ, QR הם ניצבים שווים. נסמן אותם ב- x.

ע"פ משפט פיתגורס סכום במשולש ישר זוית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, לכן:

PQ² + QR² = PR²

x² + x² = 38.47²

2x² = 1479.94

x² = 739.94

x = 27.2

אורכי הניצבים PQ ו- QR הוא 27.2 ס"מ.

ב. משולש PQR שווה שוקיים (PQ = QR)  וישר זווית (זווית Q ישרה).
מכאן זויות P, R שוות (מול צלעות שוות (PQ = QR). סכומן שווה 90 מעלות משום שסכום זוויות מול ניצבים במשולש ישר זויית הוא 90 מעלות.

מכאן שכל אחת מהן שווה 45 מעלות, ולכן זווית QPR שווה 45 מעלות.

הוכחת סכום סדרה הנדסית בדרך האינדוקציה

תרגיל

נתונה הסדרה ההנדסית שאיברה הראשון a1 ומנתה q.

 a₁ , a₁ᐧq , a₁ᐧq² ... a₁ᐧq^n-1

הוכח בדרך האינדוקציה כי סכום n איברים ראשונים של הסדרה הוא:

S_n = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

הוכחה
נבדוק עבור n = 1
הסכום ע"פ איברי הסדרה:  S₁ =  a₁ 

הסכום ע"פ הנוסחה: 

S_n = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

S₁ = a₁ ᐧ (q¹ - 1) / (q - 1)

S_n = a₁ 

הבדיקה תקינה הסכום הוא a₁ ע"פ הנוסחה.

נבדוק עבור n=2

הסכום ע"פ איברי הסדרה:   

S₂ =  a₁+ a₂   = a₁ + a₁ᐧq  = a₁(q + 1)

הסכום ע"פ הנוסחה:

S_n = a₁ ᐧ (qⁿ - 1) / (q - 1)

S₂ = a₁ ᐧ (q² - 1) / (q - 1)

S₂ = a₁ ᐧ (q + 1)(q - 1) / (q - 1)

S₂ = a₁ ᐧ (q + 1)

הבדיקה תקינה הסכום הוא a₁(q + 1) ע"פ הנוסחה.

נניח שעבור n = k סכום הסדרה הוא :  S_k = a₁ ᐧ (q^k - 1) / (q - 1)

נוכיח שעבור n=k+1  סכום הסדרה הוא : S_k+1 = a₁ ᐧ (q^k+1 - 1) / (q - 1)



הוכחנו נכונות הנוסחה עבור n = 1 , n = 2 וגם הוכחנו את הנוסחה גם עבור n = k+1 בהנחה שמתקיימת עבור n=k לכן הנוסחה נכונה ע"פ שיטת האינדוקציה.

נגד שקול לנגדים המחוברים במקביל

נוכיח כי הקשר בין נגד שקול Re לשלשה נגדים R1, R2, R3 המחוברים במקביל הוא:



נתונים שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים במקביל במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I.

נגדים מחוברים במקביל למקור מתח

 הנגד השקול Re

הנגד השקול Re הוא נגד שאם נחבר אותו בין ההידקים A, B במקום שלשת הנגדים R1, R2, R3 נקבל אותו מתח I במעגל.
כלומר V = I * Re

נגד שקול מחובר למקור מתח

בחיבור מקבילי המתח על כל האלמנטים שווה, והזרם הכולל בהדקים הקיצוניים שווה לסכום הזרמים בכל אלמנט בנפרד. מתוך שיקולים אלה ניתן לחשב את האלמנט השקול עבור סוגים שונים של רכיבים.

דרך נגד R1 זורם זרם I1
דרך נגד R2 זורם זרם I2
דרך נגד R3 זורם זרם I3

הזרם במעגל דרך מקור המתח הוא I ומתקיים:
 I =I1 +I2 + I3
כלומר:


מצמצמים ב- V ומקבלים:


באופן דומה ניתן להוכיח גם עבור חיבור במקביל לכל מספר נגדים שנרצה.



דוגמא:

במעגל חשמלי מחוברים שני נגדים בעלי התנגדות 8 אוהם, ו- 12 אוהם במקביל למקור מתח כמפורט בשרטוט להלן. 

1. חשב את הזרם I1 הזורם דרך נגד 8 אוהם, והזרם I2 הזורם דרך נגד 12 אוהם.

2. מהו הזרם I של המעגל?

3. מהו גודלו של הנגד השקול Re?

פתרון

1. הנגדים מחוברים בחיבור מקבילי למקור המתח, והמתח על כל נגד שווה 5v . לכן:
הזרם I1 על נגד 8 אוהם:  I1 = 10/8 = 5/4 = 1.25. הזרם I1 שווה 1.25 אמפר.
הזרם I2 על נגד 12 אוהם: I2 = 10/12 = 5/6 = 0.8333 . הזרם I2 שווה 0.8333 אמפר.

2. הזרם במעגל I שווה לסכום הזרמים בנגדים: I = I1 + I2 = 1.25 + 0.8333 = 2.08333 . הזרם במעגל I הוא 2.08333 אמפר.

3. גודלו Re של הנגד השקול שווה לנגד שאם נשים אותו במעגל במקום שני הנגדים נקבל אותו זרם I במעגל, כלומר: Re = V/I = 10 / 2.08333 = 4.8 . הנגד השקול שווה 4.8 אוהם.

נגד שקול מחובר למקור מתח

ניתן למצוא את גודל הנגד השקול ע"פ הנוסחה שמצאנו לעיל. אם R1 , R2 נגדים מחוברים במקביל אזי הנגד השקול Re :



גם בשיטה זאת הנגד השקול שווה 4.8 אוהם.

נגד שקול לנגדים המחוברים בטור

נוכיח כי נגד שקול לנגדים בטור המחוברים למקור מתח שווה לסכום גדלי שלשת הנגדים.
נתונים שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים בטור במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I.

שלשה נגדים R1, R2, R3 מחוברים בטור במעגל חשמלי למקור מתח V. הזרם במעגל הוא I

הנגד השקול Re

הנגד השקול Re הוא נגד שאם נחבר אותו בין ההידקים A, B במקום שלשת הנגדים R1, R2, R3 נקבל אותו מתח I במעגל.
כלומר V = I * Re

נגד שקול

בחיבור רכיבים חשמליים בטור הזרם בכל הרכיבים שווה, והמתח הכולל בהדקים הקיצוניים שווה לסכום המתחים על כל רכיב בנפרד. מתוך שיקולים אלה ניתן לחשב את האלמנט השקול עבור סוגים שונים של רכיבים.

המתח על נגד R1 הוא V1 = I * R1
המתח על נגד R2 הוא V2 = I * R2
המתח על נגד R3 הוא V3 = I * R3

המתח הכולל V בין ההידקים A, B שווה לסכום שלש המתחים על הנגדים R1, R2, R3. לכן המתח V שווה:

V = V1 + V2 + V3

V = I*R1 + I*R2 + I*R3
V = I*(R1 +R2 + R3)

הנגד השקול Re מקיים: V = I * Re

לכן Re = R1 +R2 + R3

נוכל לומר כי הנגד השקול המחובר לשלשה נגד המחוברים למקור מתח בטור שווה לסכום גדלי שלשת הנגדים.
באופן דומה ניתן להוכיח גם עבור חיבור בטור כל מספר נגדים שנרצה.

דוגמא

נתון מעגל חשמלי שבו שני נגדים בעלי התנגדות 10 אוהם ו- 20 אוהם מחוברים למקור מתח של 60 וולט.

 

שני נגדים מחוברים בטור

 

חשב:
1. הזרם במעגל
2. המתח החשמלי על כל אחד מהנגדים

 פתרון

1. בחיבור שני נגדים בטור הזרם החשמלי I העובר דרך הנגדים שווה, והמתח הכולל על הדקי שני הנגדים שווה לסכום המתחים על כל נגד בנפרד.

המתח על נגד R1 הוא:  V1 = I * R1 = I *10
המתח על נגד R2 הוא:  V2 = I * R2 = I *20

סכום המתחים על שני הנגדים הוא V = 60v :
V1 + V2 = I*R1 + I*R2 = V
V = 10*I + 20*I = 30*I =60
I = 60/30 = 2

הזרם במעגל הוא 2A

2.

המתח על נגד R1 הוא:  V1 = I * R1 = I *10 = 2*10 = 20
המתח על נגד R1 הוא 10 וולט


המתח על נגד R2 הוא:  V1 = I * R2 = I *20 = 2*20 = 40
המתח על נגד R2 הוא 20 וולט.

 

חוק אוהם

חוק אוהם התגלה ב- 1836 ע"י גאורג אוהם ומציג הקשר בין מתח זרם והתנגדות..

אוהם גילה כי בחומרים מסוימים קיים יחס ישר ישר בין המתח לזרם עבור מוליך כלשהו. כלומר אם נגדיל את המתח על הדקי המוליך פי 2 יגדל הזרם החשמלי במוליך פי 2.

נסמן:
V - המתח על הנגד (נמדד ביחדות וולט)
I - הזרם בנגד (נמדד ביחידות אמפר A)
R - התנגדות הנגד (נמדד ביחידות אוהם)

ע"פ חוק אוהם: V = I * R

 דוגמא:

נתון נגד בעל התנגדות 5 אוהם. מחברים את הנגד למקור מתח של 10 וולט. מה גודל הזרם שיזרום במעגל?

מעגל חשמלי - נגד בעל התנגדות 5 אוהם מחובר למקור מתח 10 וולט

פתרון:

 
ע"פ חוק אוהם הקשר בין הזרם, מתח והתנגדות במעגל הוא: V = I * R
לכן: 10 = 5 * I
I= 10/5 = 2
הזרם במעגל הוא 2 אמפר

יחס שיפועי ישרים מאונכים במערכת צירים

נתון:

ישר L1 שיוצר זוית  𝜶 עם מערכת צירים, וישר L2 מאונך לישר L1 ויוצר זוית β עם מערכת הצירים.

 

 ישרים מאונכים במערכת צירים

צריך למצוא

יחס השיפועים בין שני הישרים.

פתרון

ע"פ הגדרת השיפוע, שיפוע ישר L1 הוא:  tan(𝜶)
ושיפוע ישר L2 הוא: tan(β)

לכן כדי למצוא את יחס שיפועי הישרים נמצא את הקשר בין   tan(𝜶) ל- tan(β) .

 β = 𝜶 + 90° - ניתן לראות מהסקיצה מאחר והישרים מאונכים.

β = 𝜶 + 90°

tan(β) = tan(𝜶 + 90°) = -tan(180° - 𝜶 - 90°) = -tan(90° - 𝜶) = -cot(𝜶) = -1 / tan(𝜶)

tan(β) = -1 / tan(𝜶)

לסיכום:
במערכת צירים שיפוע הישר המאונך לישר בעל שיפוע m הוא :  

-1 / m

 מכאן מכפלת שיפועים של שני ישרים מאונכים היא 1-.

דוגמא:

הוכח כי הישר 2x + 3y =1 והישר 6x -4y -1 =0 מאונכים זה לזה.

פתרון:

נציג כל אחד מהישרים בצורה y = ax +b ונבדוק כי השיפועים a1 , a2 של הישרים מקיימים: a1 * a2 = -1

הישר 2x + 3y =1

3y = -2x + 1

y = (-2/3)x + 1 / 3

שיפוע ישר ראשון הוא:  2/3- .

הישר 6x - 4y -1 = 0

6x - 4y - 1 = 0

-4y = -6x + 1

y = (3/2)x - 1/4

שיפוע הישר השני הוא 3/2

מכפלת שיפועי הישרים: 

(-2 / 3) * 3 / 2 = -1

מכפלת שיפועי הישרים שווה 1- ולכן הישרים מאונכים זה לזה.