הוכחת נוסחת מספר אלכסונים במצולע בדרך האינדוקציה

הוכח בדרך האינדוקציה כי מספר האלכסונים D במצולע (קמור) בעל n צלעות הוא:


הוכחה:
נתחיל מבדיקת הנוסחה עבור מרובע שהוא מצולע בעל מספר צלעות הנמוך ביותר שיש לו אלכסונים.
למרובע 4 צלעות n = 4 ושני אלכסונים  D = 2

למרובע שני אלכסונים

נבדוק:

הבדיקה הצליחה.

נניח שעבור n = k מספר האלכסונים במצולע הוא :


צריך להוכיח שעבור n = k+1 מספר האלכסונים הוא:


1: 

נדמיין מצולע בעל k צלעות ו- k קודקודים בעל D אלכסונים. אם נוסיף קודקוד נוסף נקבל מצולע חדש (בעל k+1 קודקודים, צלעות) עם אותם אלכסונים ועוד k-1 אלכסונים נוספים שנוצרו עקב הקודקוד החדש.

הקודקוד החדש יוצר k-2 אלכסונים חדשים עם קודקודים שאינם סמוכים לו ועוד אלכסון שנוצר מצלע שהפכה לאלכסון.

לדוגמא - הוספת קודקוד למרובע והפיכתו למחומש:
 המחומש להלן הוא כמו המרובע לעיל בתוספת קודקוד C. נוצרו 2 אלכסונים מחיבור C עם 2 קודקודים שאינם סמוכים ל- C ועוד אלכסון מצלע AB שהפכה לאלכסון סה"כ נוצרו 4-1 = 3 אלכסונים.

לכן מספר האלכסונים במצולע בעל k+1 קודקודים (צלעות):


וזה מה שנדרשנו להוכיח באינדוקציה ב- 1 לעיל.

סכום הזויות החדות במשולש ישר זוית שווה 90 מעלות

נתון 

משולש ABC ישר זוית


 

משולש ישר זווית ABC

 

צריך להוכיח 

הוכחה

1: - נתון
2:  - סכום זויות במשולש (ABC) שווה 180 מעלות
3: - הצבת 1 ב- 2
4:

מ.ש.ל

זויות במשולש

מהמשפט כי סכום הזויות במשולש שווה 180 מעלות נובעים מספר משפטים נוספים שהם די ברורים:

1. כל זוית במשולש שווה צלעות שווה 60 מעלות - משפט זה נובע מהעובדה כי במשולש שווה צלעות כל הזויות שוות (מטעמי סימטריה) וסכומן 180 מעלות, לכן כל זוית שווה 60 מעלות.

2. סכום הזויות החדות במשולש ישר זוית שווה 90 מעלות - סכום כל הזויות במשולש ישר זוית הוא 180 מעלות. זוית אחת היא ישרה שגודלה 90 מעלות ולכן סכום השתי הזויות הנוספות הוא 90 מעלות (משלים ל- 180 מעלות סכום הזויות במשולש).

להלן ההוכחה:

נתון 
משולש ABC ישר זוית

 

 

צריך להוכיח 


הוכחה
1: - נתון
2:  - סכום זויות במשולש (ABC) שווה 180 מעלות
3: - הצבת 1 ב- 2
4:



3. אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש שני, אז גם הזוית השלישית במשולש האחד שווה לזוית השלישית במשולש השני - ההוכחה נובעת מכך שסכום הזויות בכל אחד מהמשולשים הוא 180 מעלות. מאחר ששתי זויות במשולש אחד שוות לשתיי במשולש השני הרי שסכומן שווה גם בשני המשולשים, מכאן מהזוית השלישית בכל אחד מהמשולשים שווה ל180 מעלות פחות סכום שתי הזויות ולכן הזוית השלישית שווה בשני המשולשים.

4.
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה

 

הוכחת המשפט:

נתון: משולש ABC שבו שלשה זוויות פנימיות A, B1, C וזוית חיצונית B2 הצמודה לזווית B1.

 

  

 

צריך להוכיח: זוית B2 = זוית A + זוית C

הוכחה:

1. זוית B1 וזוית B2 צמודות ולכן סכומן 180 מעלות
2. זויות B1 וזויות A, C הן זויות המשולש ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זויות המשולש 180 מעלות

מכאן זוית B2 = זוית A + זוית C - נובע מ-1 ו-2. שני הגדלים משלימים עם זוית B1 ל- 180 מעלות ולכן הגדלים שווים.

מ.ש.ל

הוכח: שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות חיצוניות הוא 180 מעלות אז שני הישרים מקבילים

נתון:

שני ישרים m, n וחותך t

 

צריך להוכיח:

m||n

הוכחה:

1: - נתון

2: - סכום זויות צמודות 180 מעלות

3: - נובע מ-1 ו- 2

4: m||n - שני ישרים נחתכים (m, n) על ידי ישר שלישי (t). אם יש זוג זוויות מתאימות שוות (זויות 1, 3) , אז שני הישרים מקבילים

מ.ש.ל

משולש - הגדרות, סוגים וסימון קודקודים, צלעות וזויות

הגדרה: משולש הוא חיבור של שלשה קטעים שנקבעים ע"י שלשה נקודות שאינן על ישר אחד.
משולש מסומן בסימון שצורתו משולש קטן ( ) ואחריו שלש אותיות (אנגלית) גדולות של קודקודי המשולש. הנקודות המחברות את הקטעים נקראות קודקודי המשולש, והקטעים נקראים צלעות.
קודקודי המשולש מסומנות באותיות אנגלית גדולות לדוגמא A, C O, וצלעות המשולש מסומנות ע"י שני קודקודים שאותן הצלע מחברת למשל AB, CD או ע"י אות קטנה בד"כ של הקודקוד מול הצלע לדוגמא a, c, d.
זויות המשולש מסומנות עם סימון תחילי בצורת זוית (  )  ואחריו אות גדולה המציינת את קודקוד הזוית או שלש אותיות גדולות שמציינות שתי צלעות שהזוית כלואה בהן.
 
דוגמא: משולש ABC

בסקיצה לעיל:

למשולש ABC שלשה קודקודים: A, B, C
למשולש ABC שלש צלעות: AB, AC, BC או c, b, a בהתאמה.

למשולש ABC () שלש זויות: או בהתאמה.


סוגי משולשים

מקובל לסווג משולשים ע"פ צלעותיהם וע"פ זויותיהם

סווג משולשים ע"פ צלעותיהם

משולש שווה צלעות שלושת הצלעות שוות שלושת הזוויות שוות 60 מעלות	משולש שווה צלעות
משולש שווה שוקיים שתי זויות שוות שתי צלעות שוות הנקראות שוקיים, הצלע השלישית נקראת בסיס	משולש שווה שוקיים
משולש שונה צלעות  משולש ללא שיוויונות ללא צלעות שוות ללא זויות שוות

סווג משולשים ע"פ זויותיהם

משולש חד זוית כל הזויות חדות - קטנות מ- 90 מעלות	משולש חד זוית
משולש ישר זוית בעל זוית ישרה	משולש ישר זוית
משולש קהה זוית בעל זוית קהה גדולה מ- 90 מעלות	משולש קהה זוית

משפט: נקודות האמצע של צלעות מרובע הן קודקדי מקבילית

א. הוכח כי נקודות האמצע של מרובע כלשהו הן קודקודי מקבילית.
ב. עבור איזה מרובע המקבילית היא גם מלבן, מעוין, או ריבוע.

הוכחת סעיף א.

נתון
 מרובע ABCD
K, L, M, N הן מרכזי הצלעות AB, BC, CD, AD בהתאמה.

צריך להוכיח:
מרובע KLMN מקבילית

הוכחה

נתבונן במשולש ABC
KL הוא קטע אמצעים מאחר וחוצה צלעות AB ו- BC
1: לכן KL = AC/2 וכן KL||AC - קטע אמצעים במשולש (ABC) שווה למחצית הצלע השלישית ומקביל לה.

2: באותה דרך מוכיחים כי MN הוא קטע אמצעים של משולש ACD ולכן MN = AC/2 ו- MN||AC

מ- 1,2 מסיקים כי KL = MN , KL || MN מכאן מרובע KLMN מקבילית - אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות המרובע הוא מקבילית.

 

הוכחת סעיף ב.

מסעיף א ניתן לראות כי המקבילית המתקבלת מחיבור אמצעי צלעות המרובע היא בעלת זוגות צלעות מקבילות לאלכסוני המרובע ושוות למחציתן.

מכאן שאם אלכסוני המרובע מאונכים נקבל מקבילית שהיא מלבן.

אם אלכסוני המרובע שווים נקבל מקבילית שהיא מעוין.

אם אלכסוני המרובע שווים ומאונכים נקבל מקבילית שהיא ריבוע.

מציאת אורך הקטע בין שוקי טרפז ומקביל לבסיסיו

נתון:

 

 

 ABCD טרפז
AD||BC
a=AD , b=BC
קטע MN כך ש:
AM : MB = DN : NC = p : q

צריך למצוא:
אורך הקטע MN

פתרון
ב.ע: בונים קטע היוצא מנקודה B ומקביל ל- CD וחותך את הבסיס AD בנקודה F ואת MN בנקודה E.

המרובע BCNE הוא מקבילית מאחר ו- BC || EN - נתון , BE || CN מבניית עזר
מכאן EN =BC = b - צלעות נגדיות במקבילית שוות.
באותה דרך מוכיחים FD = b
ולכן AF = a-b

 MN = ME + EN - מבניית עזר
EN = FD = b - המרובעים BCNE, ENDF מקביליות.

נחשב את ME:
ע"פ דמיון משולשים BME, BAF ויחס הדימיון: AM : MB = p : q

q / (p + q) = ME / AF = ME / (a - b)

ME = q(a - b) / (p + q)

 MN = ME + EN - מבניית עזר 

MN = q(a - b) / (p + q) + b

MN = q(a - b) / (p + q) + b(p + q) / (p + q)

MN = (qa - qb + bp + qb) / (p + q)

MN = (qa + bp) / (p + q)

טרפז - מציאת אורך הקטע הנוצר ע"י חיתוך האלכסונים את קטע האמצעים

נתון:

 ABCD טרפז
AD||BC
a=AD , b=BC
AC, BD - אלכסונים
PQ - קטע אמצעים

 

טרפז ABCD , קטע אמצעים PQ ואלכסונים AC, BD

 

 

צריך למצוא:

אורך הקטע KL

פתרון:

נתבונן במשולש ABD.
הקטע PL הוא קטע אמצעים במשולש ABD, מאחר והוא מקביל  ל- AD וחוצה את הצלע AB  (נתון -מאחר ונתון כי PQ הוא קטע אמצעים של הטרפז).
מכאן PL = a/2 - קטע אמצעים (PL) במשולש (ABD) שווה למחצית בסיס המשולש (AD)

נתבונן במשולש ABC
באותה דרך כפי שהוכחנו כי PL = a/2 אפשר להוכיח כי PK = b/2

KL = PL- PK = (a-b)/2
KL = (a-b)/2

זויות בין שני ישרים וחותך - הגדרות

נניח שני ישרים m, n וחותך t . בין הישרים לחותך נוצרות זויות אשר ניתן לכנותן בשמות על פי מיקומן.

זויות בין שני ישרים m, n וחותך t

נגדיר יחסים בין הזויות הנמצאות בין הישרים m, n לחותך t

זויות פנימיות: זויות הנמצאות בין שני הישרים m, n נקראות זויות פנימיות.
הזויות 3, 4, 5, 6 הן זויות פנימיות.

זויות חיצוניות: זויות הנמצאות מחוץ לשני הישרים m, n נקראות זויות חיצוניות.
הזויות 1, 2, 7, 8 הן זויות חיצוניות.

זויות מתאימות: זוג זויות הנמצאות במיקום זהה ביחס לישרים נקראות זויות מתאימות:
זויות 1, 5 - זויות מתאימות שמאל מעלה.
זויות 4, 8 - זויות מתאימות שמאל מטה.
זויות 2 ,6 - זויות מתאימות ימין מעלה
זויות 3, 7 - זויות מתאימות ימין מטה

זויות פנימיות מתחלפות - זוג זויות בעלות קודקוד שונה ואשר נמצאות בצדדים מנוגדים לחותך t בין שני הישרים m, n נקראות פנימיות מתחלפות.
זויות 3, 5  - זויות פנימיות מתחלפות.
זויות 4, 6 - זויות פנימיות מתחלפות.

זויות חיצוניות מתחלפות - זוג זויות בעלות קודקוד שונה ואשר נמצאות בצדדים מנוגדים לחותך t מחוץ לשני הישרים m, n נקראות חיצוניות מתחלפות.
זויות 1, 7 - זויות חיצוניות מתחלפות.
זויות 2, 8 - זויות חיצוניות מתחלפות.

הוכח: שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180 מעלות אז שני הישרים מקבילים

נתון:

 

שני ישרים m, n נחתכים על ידי ישר שלישי t

 

ישרים m, n  וחותך t
ישר n וישר t נחתכים בנקודה P
 

צריך להוכיח
 m||n

הוכחה

 1: - נתון
 2:  - סכום זויות צמודות הוא 180 מעלות
 3: - נובע מ-1 ו- 2

4: m||n - שני ישרים נחתכים (m, n) על ידי ישר שלישי (t). אם יש זוג זוויות מתאימות שוות (זויות 1, 2) , אז שני הישרים מקבילים

מ.ש.ל