חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים

נתון 

 

 
משולש שווה שוקיים ABC שבו   AB = AC

 AO חוצה זוית BAC כך ש:


צריך להוכיח 


הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABO, ACO באמצעות צ.ז.צ

1: AB = AC - נתון
2: AO = AO - צלע משותפת
3: - נתון


4: - לפי צ.ז.צ - אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.

מ.ש.ל

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות. צלעות אלו מכונות שוקיים. הצלע הנוספת היא בסיס. הקודקוד שבו שתי השוקיים נפגשות נקרא קודקוד המשולש, והזוית הנוצרת בין השוקיים נקראת זוית הקודקוד. שתי הזויות הנוספות הן זויות הבסיס.

לדוגמא במשולש שווה שוקיים להלן ABC שבו AB = BC נאמר כי:
A הוא קודקוד המשולש.
זוית A היא זוית קודקוד (המשולש).
הצלעות AB, AC הן שוקיים.
BC הוא בסיס.
זויות B, C הן זויות הבסיס.

משולש שווה שוקיים ABC

תכונות משולש שווה שוקיים

 

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.

 
חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפיםבמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).

מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.

במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.

אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות

משפט חפיפה ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים

נתון

משולשים ABC, EFG

משולשים ABC, EFG

 

E⦠ = וA⦠

F⦠ = וB⦠

AC = EG


צריך להוכיח:  ABC ≅ △EFG△

הוכחה

 
נוכיח כי זויות C, G שוות ולאחר מכן נוכיח חפיפה באמצעות ז.צ.ז.

1: 

E⦠ = וA⦠ - נתון

F⦠ = וB⦠- נתון

2:  G⦠ = וC⦠ - נובע מ- 1  - אם שתי זויות (זויות A, B) במשולש אחד (משולש ABC) שוות לשתי זויות (זויות E, F) במשולש השני (משולש EFG) אזי גם הזוית השלישית (זויות C, G) שווה בשני המשולשים

3: AC = EG - נתון

4:  ABC ≅ △EFG△  - נובע מ- 1,2,3 - לפי משפט חפיפה ז.צ.ז  אם בשני משולשים (ABC, EFG) שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.

מ.ש.ל

אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש השני אזי גם הזוית השלישית שווה בשני המשולשים

נתון

 

 

שני משולשים ששתיים מזוויותיהם שוות

 

 משולשים ABC, EFG


צריך להוכיח


הוכחה
1:
  - נתון

2: - נובע מ-1

3:
  - סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות
4:    - נובע מ- 3

5: - הצבת 2 ב- 4

6: - נובע מ- 5

מ.ש.ל

הוכח: גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים

נתון:

ABC ≅ △RST△  

AB ⊥ CD ,  RS ⊥ TV

 

גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים

 

 

צריך להוכיח

 
CD = TV

הוכחה

נוכיח ע"י חפיפת משולשים ACD ו- RTV

1: AC = RT - צלעות מתאימות במשולשים חופפים ( ABC ≅ △RST△  - נתון)

2: - זויות מתאימות  

במשולשים חופפים ( ABC ≅ △RST△ - נתון)

3: - נתון (גבהים CD ל- AB ו- TV ל- RS)

4:  ADC ≅ △RTV△ - נובע מ: 1,2,3 לפי ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים.

5: CD = TV - נובע מ- 4 - חלקים מתאימים שווים במשולשים חופפים.

מ.ש.ל