מכניקה - דיאגרמת גוף חופשי

דיאגרמת גוף חופשי חיונית כדי לסייע בזיהוי הכוחות הפועלים על הגוף. דיאגרמת גוף חופשי היא תרשים המציג את הגוף לבדו ללא הסביבה שלו, עם וקטורים המציינים את גודל הכוחות הפועלים על הגוף ואת כיוונם בין אם ע"י אינטראקציה עם גופים אחרים או כוחות משיכה.
 
יש להקפיד להציג בדיאגרמת גוף חופשי את כל הכוחות הפועלים על הגוף ולהיזהר לא להציג כוחות שאינם פועלים. בפרט שני כוחות פעולה ותגובה לא יכולים לפעול לעולם על אותו הגוף. בנוסף אין להציג כוחות פנימיים בתוך הגוף שהוא מפעיל על עצמו.

דוגמאות לדיאגרמת גוף חופשי:

דוגמא 1 - דיאגרמת גוף חופשי של הכוחות הפועלים על אתלטית בהאצה

 

דיאגרמת גוף חופשי של הכוחות הפועלים על אתלטית בהאצה

החוק השלישי של ניוטון - כוח אופקי מופעל על שתי תיבות מחוברות על משטח חלק

תרגיל

תיבות A ו- B מחוברות על משטח אופקי ללא חיכוך (ראה איור) משקל תיבה A הוא 20 ק"ג ותיבה B בעלת משקל 5 ק"ג. על תיבה A פועל כוח אופקי של 100 ניוטון, מה הכוח שמפעילה תיבה A על תיבה B?

החוק השלישי של ניוטון - כוח אופקי מופעל על שתי תיבות מחוברות על משטח חלק

פתרון

 מסת שתי התיבות המחוברות יחד היא 120 ק"ג, ועליהן מופעל כוח של 100 ניוטון, לכן ע"פ החוק השני של ניוטון שתי התיבות ינועו בתאוצה:

F = ma    -  החוק השני של ניוטון

 

שתי התיבות נעות בתאוצה     וזוהי גם התאוצה של תיבה B.

לכן הכוח המופעל על תיבה B לפי החוק השני של ניוטון היא מכפלת מסתה 20 ק"ג בתאוצתה 0.8333 מ' לשניה בריבוע:  F = 20 * 0.8333 = 16.666
הכוח המופעל על תיבה B הוא 16.666 ניוטון. וזהו הכוח שמפעילה עליה תיבה A.

נציג דיאגרמות גוף חופשי של כל אחת מהתיבות:

דיאגרמת גוף חופשי תיבה B:

דיאגרמת גוף חופשי תיבה B

דיאגרמת גוף חופשי תיבה A:

דיאגרמת גוף חופשי תיבה A

החוק השלישי של ניוטון

כוח הפועל על גוף הוא תמיד התוצאה של אינטראקציה עם גוף אחר, כך כוחות תמיד באים בזוגות. לא ניתן  למשוך עם היד בידית של דלת מבלי שהידית מושכת חזרה את היד.
כאשר בועטים בכדור, הכוח שמפעילה הרגל מעיפה את הכדור למסלולו אך גם הרגל מרגישה היטב את כוח התגובה של הכדור. אם נבעט בסלע, הכאב שנרגיש נובע מכוח שהסלע מפעיל על כף הרגל.

בכל אחד מהמקרים הללו, הכוח שאנו מפעילים על הגוף האחר הוא בכיוון הפוך מכיוון הכוח שהגוף מפעיל עלינו. ניסויים מראים כי בכל פעם שיש אינטראקציה בין שני גופים, שני הכוחות שהם מפעילים אחד על השני תמיד שווים בגודל והפוכים בכיוון. עובדה זו נקראת החוק השלישי של ניוטון.

החוק השלישי של ניוטון

אם גוף A מפעיל כוח על גוף B (כוח פעולה) אזי גוף B יפעיל כוח על גוף A (כוח תגובה). שני כוחות אלו הם בעלי אותו הגודל אך בכיוונים מנוגדים. 

ע"פ החוק השלישי של ניטון הכוח שמפעילה הרגל על הכדור שווה לכוח שמפעיל הכדור על הרגל ומנוגד לו בכיוון

 

החוק השני של ניוטון - בעיות פתורות

תרגיל 1

בחור על סקטים במשקל 68.5 ק"ג נע על משטח אופקי ממהירות 2.4 מטר לשניה עד לעצירה בהאטה אחידה תוך 3.52 שניות עקב החיכוך עם המשטח. מהו כוח החיכוך שמפעיל המשטח על הבחור?

פתרון תרגיל 1
נמצא תחילה את התאוטה של הבחור ע"פ משוואות תנועה שוות תאוצה ולאחר מכן נמצא את הכוח המופעל עליו ע"פ החוק השני של ניוטון בהינתן מסתו  m = 68.5kg והתאוטה.


 מהירותו ההתחלתית של הבחור:   v₀ = 2.4 m/s

מהירותו בתום 3.52 שניות:  v(t=3.52) = 0

זמן שחלף עד לעצירה: t = 3.52 sec

ע"פ משוואות תנועה שוות תאוצה: 

v(t) = v₀ + a ᐧ t

a = (v(t) - v₀) / t

נציב ונקבל את התאוטה a:   

a = (0 - 2.4) / 3.52 = - 0.681 m/s²

ע"פ החוק השני של ניוטון כוח החיכוך F:    

F = mᐧa = 68.5 ᐧ (-0.681) = -46.64 n

כוח החיכוך הפועל על הבחור עד לעצירתו הנו 46.64 ניטון.

תרגיל 2

קופסא מונחת של משטח ללא חיכוך. טדם מפעיל כוח אופקי של 10 ניוטון על הקופסא, והקופסא נעה כתוצאה מכך בתאוצה של 2 מטר לשניה בריבוע. מה מסת הקופסא.

פתרון תרגיל 2

נשרטט תחילה דיאגרמת גוף חופשי של הכוחות הפועלים על הקופסא:

דיאגרמת גוף חופשי של כוחות הפועלים על מסה הנעה אופקית על משטח חלק

משוואות הכוחות:

בכיוון האנכי אין תנועה לכן סכום הכוחות הפועלים על המסה בכיוון האנכי שווה 0:   N - W = 0
בכיוון האופקי יש תנועה שוות תאוצה כתוצאה מהכוח F, ע"פ החוק השני של ניוטון: F = mᐧa

ובהצבה  20 = 2m
m = 10kg

מסת הקופסא היא 10 ק"ג.

החוק השני של ניוטון

החוק השני של ניטון מתאר את הקשר בין כוח חיצוני נטו הפועל על גוף לבין תאוצת הגוף בכיוון הכוח נטו.
(כוח חיצוני נטו - סכום וקטורי  או בכיוון כלשהו נטו של כוחותחיצוניים הפועלים על הגוף)

נוסח החוק:
אם כוח נטו F פועל על גוף שמסתו m , הגוף ינוע בתאוצה a שכיוונה הוא כיוון הכוח, ע"פ הנוסחה:  F = ma

הכוח F הוא למעשה וקטור שקול הכוחות החיצוניים הפועלים על המסה m.

סימול וקטורי החוק השני של ניטון יראה כך:  


דוגמא:

פועל מפעיל כוח קבוע של 20N על קופסא שמסתה 40kg המונחת על ריצפה עם חיכוך זניח. באיזה תאוצה תנוע המסה.

פתרון

להלן דיאגרמת כוחות המופעלים על הקופסא:

פועל דוחף קופסא על משטח עם חיכוך זניח - דיאגרמת כוחות

משוואת כוחות על הציר האנכי y 

 W =n  - משקל הגוף שווה לכוח התגובה של המשטח בכוון הנגדי לכן סכום הכוחות שווה 0 ואין תנועה בכיוון y

בציר האופקי x:

סכום הכוחות בציר x שווה 20N בכיוון החיובי של ציר ה- x , הגוף ינוע בתאוצה בכיוון x ע"פ החוק השני של ניוטון:

הגוף ינוע בתאוצה  בכיוןן החיובי של ציר x.

חזקות במעריכים שלמים

חזקה עם מעריך שלם חיובי n מוגדרת:

 יש משמעות לסוגריים בבסיס לדוגמא:



אבל ללא סוגריים התוצאה אחרת:



חזקה עם מעריך 0
חזקה עם מעריך 0 שווה לאחד. כאשר הבסיס והמעריך שווים 0 זהו מצב לא מוגדר.

חזקה עם מעריך 0

לדוגמא:


חזקה עם מעריך שלם שלילי - הגדרה
 אם a הוא מספר כלשהו שונה מ- 0 ו- n מספר שלם שלילי אזי:

 ע"פ ההגדרה ניתן להבין מדוע a שונה מ- 0 , משום ש- 0 במכנה לא מוגדר, ואם a יהיה 0 אנו נקבל מכנה שווה ל - 0.
דוגמאות:

להלן מספר תכונות עיקריות של חזקות עם מעריך שלם עם דוגמאות:

מספר תכונות עיקריות של חזקות עם מעריך שלם עם דוגמאות

משוואות ואי שיוויונים ערך מוחלט - דוגמאות פתורות

תרגיל 1

פתור את המשוואה :  

פתרון תרגיל 1
לפתרון התרגיל נשתמש בתכונת הערך המוחלט:
 עבור a חיובי :     אם ורק אם  
לכן ישנן שתי אפשרויות פתרון:

מכאן ישנם שני פתרונות: x = 5 , x = -2

נזכיר תחילה כי מקובל להשתמש בסימול  לציין "אם ורק אם"

תרגיל 2

פתור את האי שיוויון  

 פתרון תרגיל 2

פתרון ערך מוחלט עם אי שוויון

 הפתרון הוא הקבוצה באינטרוול הפתוח , או בתצוגה מתמטית 

השתמשנו לתרגיל זה בשתי תכונות אי שוויוניים: כפל במספר שלילי הופך את האי שוויוניים, וכן היפוך שבר כאשר שני הצדדים חיוביים

ערך מוחלט

ערך מוחלט של מספר x מסומן |x|  ומוגדר:

הגדרת ערך מוחלט של מספר x

דוגמאות לערכים מוחלטים של מספרים:

| 3 | = 3 

| 0 | = 0

| -5 | = -(-5) = 5 

| - | a | | = | a |

מבחינה גיאומטרית הערך המוחלט של x , או |x| הוא המרחק של x מ- 0 על הישר הממשי.

מאחר ומרחק הוא תמיד חיובי או 0 אנו אומרים כי x | ≥ 0 | עבור כל מספר ממשי, ו-  x | = 0 | אם ורק אם  x=0 .

נוסיף כי המרחק בין x ל- y שווה   | x - y | על הציר הממשי.

ערך מוחלט מציין מרחקים בין נקודות על ציר המספרים

תכונות הערך המוחלט:

אם a ו- b שני מספרים ממשיים אזי מתקיים:

| -a | = | a |

|aᐧb| = | a |ᐧ| b |

| a / b | = | a | / | b |

| a + b | ≤ | a | + | b | 

האי שוויון האחרון  | a + b | ≤ | a | + | b |  נקרא אי שיוויון המשולש. 

דוגמאות:

| -3 + 5 | = | 2 | = 2 < | -3 | + | 5 | = 8

| 3 + 5 | = | 8 | = 8 = | 3 | + | 5 |

| -3 - 5 | = | -8 | = 8 = | -3 | + | -5 |

האי שיוויון  x | < a |  מציין שהמרחק של x מ- 0 קטן מהמספר החיובי a. המשמעות היא כי x נמצא בין a- ל- a. ראה סקיצה להלן:

הערך המוחלט של x קטן מ- a , כלומר x נמצא בין a- ל-a

להלן מספר תכונות נוספות של ערך מוחלט הנובעים מהגדרת הערך המוחלט ושימושיים לפתרון משוואות אי שיוויונים עם ערך מוחלט:

ערכים מוחלטים ואינטרוולים
אם a מספר חיובי אז:

| x | = a  if and only if  x = ±a

| x | < a  if and only if  -a < x < a

| x | > a  if and only if  x > a or x < -a

| x | ≤ a  if and only if  -a ≤ x ≤ a

| x | ≥ a  if and only if  x ≥ a or x ≤ -a

הביטוי " if and only if" משמעותו "אם ורק אם".

אי שיוויונים - דוגמאות פתורות

תרגיל 1
פתור את האי שיוויון הבא והראה את קבוצת הפתרון על הישר הממשי:  2x - 1 < x + 3

פתרון תרגיל 1

2x - 1 < x + 3
2x < x + 4
x < 4

הפתרון הוא קבוצה פתוחה בקטע (אינטרוול) :   (4 , ∞-)

הצגה נוספת של הפתרון: {4 > x | x }

ניתן גם להציג את הפתרון בצורה גיאומטרית:

הצגת גיאומטרית של קבוצה על הישר הממשי

תרגיל 2
פתור את האי שיוויון הבא והראה את קבוצת הפתרון על הישר הממשי:   x/3 < 2x +1-

פתרון תרגיל 2

נבצע פעולות אלגבריות לפתרון האי שוויון:

-x/3 < 2x +1

הכפלת שני האגפים ב- 3:

-x < 6x + 3

הוספת x לשני האגפים:

0 < 7x + 3

הפחתת 3 משני האגפים:

-3 < 7x

חלוקה ב- 7:

-3/7 < x

הפתרון הוא קבוצה פתוחה באינטרוול:

{x | x > -3/7} = (-3/7 , ∞ )

הצגה גיאומטרית של הפתרון:

תרגיל 3

פתור את האי שיוויון והצג את הפתרון על הישר הממשי:  

| 2x - 3 | ≤ 1

פתרון תרגיל 3:

נשתמש בתכונות ערך מוחלט באי שיוויון, נפתח ונקבל: 

| 2x - 3 | ≤ 1

-1 ≤  2x - 3 ≤ 1

2 ≤ 2x ≤ 4

1 ≤ x ≤ 2

הפתרון עבור x הוא הקבוצה [1,2] , בהצגה נוספת:  

{x | 1 ≤ x ≤ 2}

נציג את הפתרון על הישר הממשי:

קטע - אינטרוול

תת קבוצה על הישר הממשי נקראת אינטרוול (קטע) אם היא מכילה לפחות שני מספרים ומכילה את כל המספרים בין שני כל אלמנטים שלה. לדוגמה קבוצת כל המספרים הממשיים עבור x >6 נקראת אינטרוול. אך קבוצת כל המספרים הממשיים למעט אפס אינה אינטוול משום לדוגמא שבין 1, 1- יש את האפס שאינו בקבוצה.

אינטרוול סופי נקרא סגור אם הוא מכיל את שתי נקורות הקצה שלו, אם הוא מכיל רק נקודה אחת ואת השניה לא הוא נקרא אינטרוול חצי פתוח, אם אינו מכיל את שתי נקודות הקצה האינטרוול נקרא פתוח.
נקודות הקצה נקראות גם נקודות הגבול, הן יוצרות את גבול האינטרוול.שאר נקודות האינטרוול נקראות נקודות פנים האינטרוול.

אינטרוול אינסופי נקרא סגור אם הוא מכיל את נקודת הקצה, אם אינו מכיל אותה הוא נקרא אינטרוול אינסופי פתוח

כל הישר הממשי R הוא אינטרוול אינסופי שהוא גם סגור וגם פתוח.


סוגי אינטרוולים (קטעים) הצגה גיאומטרית

סוגי אינטרוולים (קטעים) הצגה גיאומטרית

מספרים ממשיים, אי שיוויונים וקבוצות

במתמטיקה, מספר ממשי הוא מספר הנכלל בשדה המספרים הממשיים, כמו 3.2 , 1/3 , 1.6- או . אינטואיטיבית, המספרים הממשיים החיוביים הם האורכים האפשריים של קטעים על ישר אינסופי (הקרוי, לפיכך, הישר הממשי). אורכה של הנקודה קרוי אפס, ולכל מספר חיובי מתאים גם מספר שלילי באותו גודל, המודד את אותו קטע, כביכול, בכיוון ההפוך.

לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא מספר שלם. מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים הוא מספר רציונלי, אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה - עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים היא עוצמת הרצף, ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא בן-מניה. המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון שורש 2, פאי או e, נקראים אי-רציונליים.

 המספרים הממשיים מיוצגים בצורה גיאומטרית כנקודות על ציר מספרים  בנקרא הישר הממשי:

ישר ממשי - ייצוג גיאומטרי של מספרים ממשיים

חוקי אי שיוויון:

אם a , b ו- c מספרים ממשיים אזי:

1.  אם a < b אז:   a + c < b + c
2.  אם a < b אז:   a - c < b - c
3.  אם a < b ו- c > 0 אז:   ac < bc
4.  אם a < b ו- c < 0 אז:   ac > bc מקרה מיוחד: אם a < b אז  a > -b-

5. אם a > 0 אז  0 <  a/ן1

6. אם a, b שניהם חיוביים או שניהם שליליים אז: אם a < b אז

1/b < 1/a

אנחנו מבחינים בשלשה תתי קבוצות של מספרים ממשיים:

1. מספרים טבעיים: 1,2,3,4,5..

2. מספרים שלמים:

0, ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±5 . . . .

3. מספרים רציונלים: 

1/4 , -23/56 , -12/4, . . 

המספרים הרציונלים מייצגים את המספרים הממשיים עם הרחבה עשרונית בשני אופנים:
1. הרחבה עשרונית סופית לדוגמא:  3/4 = 0.75
2. הרחבה עשרונית החוזרת על עצמה, לדוגמא:  23/11 =  ...2.090909090

מספרים אי רציונלים - ישנם מספרים על הציר הממשי שאינם רציונלים. לדוגמא לא קיים מספר רציונלי שהריבוע שלו הוא 2. מספרים ממשיים שאינם רציונלים נקראים מספרים אי רציונלים. הם מאופינים בהרחבה עשרונית אינסופית שאינה חוזרת על עצמה. דוגמאות למספרים אי רציונלים:  

𝞹, √2 , . . 

קבוצות

סימון בעזרת קבוצות מאוד שימושי לתאר תת קבוצה מסוימת מהמספרים הממשיים. הקבוצה היא אוסף של אוביקטים הנקראים אלמנטים של הקבוצה.

סימולים לקבוצות:

אם S היא קבוצה הסימול  a ∈ S  מציין כי a הוא אלמנט ב- S
 ו-  a ∉ S מציין כי a אינו אלמנט ב- S

אם S ו- T הן קבוצות אזי הקבוצה  S ∪ T היא האיחוד שלהן ומכילה את כל האלמנטים שב- S וב- T.
החיתוך S ∩ T היא קבוצה המכילה אלמנטים השייכים גם ל- S וגם ל- T.

הקבוצה הריקה  ⦰ היא קבוצה שאינה מכילה אלמנטים כלל. דוגמא לקבוצה ריקה היא החיתוך בין קבוצת המספרים הרציונלים לקבוצת המספרים האי רציונלים.

ניתן לתאר קבוצה באמצעות האיברים שלה. לדוגמה קבוצת מספרים טבעיים קטנים מ- 6 מתוארת כך:  

A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

קבוצת המספרים השלמים מתוארת כך:

A = {0, ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±5 . . . . }

דרך  נוספת לתאר קבוצה היא  לתאר את הקבוצה בתוך סוגריים לדוגמא:

A = { x | x is integer and 0 < x < 6 }

תאור זה הוא קבוצת מספרים טבעיים הקטנים מ- 6.

וקטורים וחיבור וקטורים

גדלים פיסיקליים כגון זמן, טמפרטורה, מסה, צפיפות, יכולים להיות מתוארים על ידי מספר בודד עם יחידה. אבל גדלים פיסיקליים רבים אחרים לא יכולים להיות מתוארים על ידי מספר בודד.דוגמא פשוטה היא תנועה של מטוס: זה לא מספיק לומר מהי מהירות המטוס אלא גם יש לומר מהו כיוון תנועתו. מהירותו של המטוס בשילוב עם כיוון תנועתו יחד מהווה כמות נקראת מהירות.  
דוגמא נוספת היא כוח, אין זה מספיק לומר את גודלו של הכוח אלא יש לומר גם את כיוון פעולת הכוח.
 וכן גם העתקה, תאוצה, שדה חשמלי, ועוד.. 

 כאשר גודל פיסיקלי מתואר ע"י מספר בודד אנו מכנים את הגודל סקלר, כאשר מתואר בנוסף גם הכיוון אנו מכנים את הגודל וקטור.
וקטור מסומן בד"כ באות גדולה עם חץ אופקי או קו מעל האות. לדוגמא:  Ā

חיבור וקטורים

נניח גוף נע העתקה A ולאחר מכן B, מה העתקתו C השקולה (או מיקומו ביחס להתחלה מבחינת כיוון ומרחק)

דוגמא:

יוסי הלך 4 צעדים צפונה ואח"כ 4 צעדים מערבה. מה מיקומו ביחס לנקודת ההתחלה.

ניתן לתאר את תנועתו של יוסי בצורה וקטורית.

תנועתו של יוסי בצורה וקטורית

ההעתקה שעבר יוסי הוא C מסומן בוקטור בצבע אדום, וכיוונו צפון מערב (קצת יותר צפונה ע"פ הסקיצה)
נחשב את ההעתקה בעזרת משפט פיתגורס:

C² = 4² + 3² = 25

C = 5

אורך ההעתקה (אורך הוקטור C) שעבר יוסי הוא 5

וכיוונו מערב מכוון צפון בזוית שהטנגנס שלה 3/4.

דוגמא 2

נתון וקטור A באורך 7 יחידות ווקטור B בזוית 30 מעלות ביחס אליו באורך 3 יחידות, מהו גודל הוקטור השול ומה כיוונו (ראה סקיצה)
למציאת השקול של הוקטורים A ו- B בונים מערכת שקולה עם וקטורים A ו- B1 . B1 זהה ל- B בגודל ובכיוון ולכן שקול אליו לחלוטין.
וקטור C הוא השקול של A ו- B1 או השקול של הוקטורים A, B.

חיבור שני וקטורים עם זוית כלשהי ביניהם

למציאת הוקטור C נשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת אורכו ובמשפט הסינוסים למציאת כיוונו. המערכת שקולה למשולש שאורכי שתיים מצלעותיה הן 7 ו- 3 והזוית ביניהן 150 מעלות. ראה סקיצה

מציאת סכום שני וקטורים בעזרת מערכת שקולה של חישוב צלע וזוית במשולש

מציאת אורך הוקטור C בעזרת משפט הקוסינוסים:

c² = a² + b² - 2ᐧaᐧbᐧcos(ɣ)

 נציב ונקבל:





אורך הוקטור C הוא 9.71 יחידות

בסימון וקטורי: 


מציאת כיוון הוקטור c (הזוית β) ע"פ משפט הסינוסים:



ובהצבה:







כיוון הוקטור C הוא בזוית 8.87 מעלות עם הכיוון החיובי של ציר ה- x