פירוק וקטור לרכיב אופקי ורכיב אנכי

ניתן לפרק וקטור לשני רכיבים אנכיים שסכומם הוא הווקטור עצמו. מקובל לפרק הווקטור לרכיבים בכיווני צירים x ו- y.
לדוגמה בסקיצה מספר 1 הווקטור F שכיוונו זווית ביחס לכיוון החיובי של ציר x פורק לשני רכיבים:
 

סקיצה מספר 1 - הווקטור F שכיוונו זווית ביחס לכיוון החיובי של ציר x פורק לשני רכיבים

 חיבור וקטורים באמצעות פירוק כל אחד מהם לשני רכיבים אנכיים באותו כיוון

סקיצה מספר 2 - פירוק וקטורים F1, F2 לרכיביהם האופקי והאנכי

 

 לדוגמא סכומי הרכיבים האופקיים והאנכיים של וקטורים F1 ו- F2 בסקיצה 2 הם:

הווקטור השקול R של הווקטורים F1, F2:

דוגמה:

נתון כוח F בגודל 30 ניוטון שכיוונו 35 מעלות ביחס לכיוון החיובי של ציר x
מצא את הרכיב האופקי H ואת הרכיב האנכי V של הכוח F.

פתרון

הפתרון בסקיצה להלן:

פירוק כוח F = 30N לרכיב אופקי H ורכיב אנכי V

פתרון משוואות דיפרנציאליות ממעלה ראשונה בעזרת הפרדת משתנים

תרגיל 1 - מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית:


פתרון
נפתור באמצעות הפרדת משתנים



תרגיל 2 - מצא פתרון פרטי למשוואה הדיפרנציאלית:


בהינתן תנאי התחלה: x= 1 כאשר  y=2

פתרון

נפתור באמצעות הפרדת משתנים
 

 למציאת קבוע האינטגרציה c נציב תנאי התחלה: x= 1 כאשר y=2


ולכן הפתרון הפרטי:

מעגל RL טורי עם מקור מתח קבוע - פתרון עם משוואה דיפרנציאלית מעלה ראשונה

מעגל RL טורי עם מקור מתח קבוע הוא מעגל המורכב מנגד (Resistor) ומשרן (Inductor) המחוברים ביניהם בטור, ומחוברים למקור מתח E, במעגל זורם זרם משתנה בזמן i. מניחים כי בזמן t = 0 הזרם הוא 0 , i = 0 (תנאי התחלה)

מעגל RL טורי עם מקור מתח קבוע

המתח על הנגד הוא: V_R והמתח על המשרן הוא V_L .
סכום המתחים על הנגד והמשרן שווה למקור המתח E.
 המתחים על הנגד והמשרן הם:

V_R = i ᐧ R

 V_L =  L ᐧ di / dt

 סכום המתחים על הנגד והמשרן שווה למקור המתח:

E = V_R  + V_L 

E = i ᐧ R +  L ᐧ (di / dt)

E -  L ᐧ (di / dt) = i ᐧ R

קיבלנו משוואת דיפרנציאלית של הזרם i במעגל כפונקציה של הזמן t. מקור המתח E, גודל ההתנגדות R וההשראה L  הם גדלים קבועים.
נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בשיטת הפרדת משתנים לקבלת הפתרון הכללי:

c הוא קבוע אינטרציה וניתן למצוא אותו ע"י הצבת תנאי התחלה בזמן  t = 0 , i = 0
נציב:


לאחר שמצאנו את c נציב אותו במשוואה הדיפרנציאלית ונחלץ את i לקבלת הפתרון הפרטי:.

ניתן להציג את הזרם במעגל כפונקציה של הזמן בצורה גרפית:

מעגך RL מחובר למקור מתח E - הזרם i במעגל כפונקציה של הזמן t

חילוק שברים

נסביר פעולת חילוק שברים בעזרת דוגמאות.

דוגמא 1 - חילוק שברים אמיתיים

פשט: 

פתרון דוגמא 1:

מציגים את שני השברים בשבר גדול:

 

כופלים את המונה והמכנה בהופכי של המכנה, מצמצמים ומקבלים התוצאה:

ניתן להשתמש בכלל: מכפילים את השבר הראשון בהופכי של השבר השני:

 דוגמה 2 - חילוק שברים מעורבים

פשט:

פתרון:

מציגים תחילה את השברים המעורבים בצורה המדומה ופותרים:

כפל שברים

כאשר מכפילים שבר בשבר התוצאה המתקבלת היא מכפלת המונים מחולקת במכפלת המכנים. ניתן לבצע פעולת צמצום המונים במכנים.

דוגמה 1 -כפל שני שברים אמיתיים

פשט: 

פתרון דוגמה 1:

נפתור בשני שלבים, בשלב הראשון נצמצם ב- 3 ובשלב השני נצמצם ב- 2 ונפתור.

 

דוגמה 2 - כפל שברים מעורבים

חשב:

פתרון דוגמה 2:

בכפל שברים מעורבים יש להביא אותם לצורה המדומה בטרם נתחיל בפעולת הכפל.

שברים - הגדרות ודוגמאות חיבור חיסור פתורות

כאשר 2 מחולק ל- 3 ניתן לכתוב את זה בצורה 2/3 או   וקוראים לזה שבר. 2 הוא המונה ו- 3 הוא המכנה.
שבר אמיתי הוא שבר שבו המכנה גדול מהמונה לדוגמא השברים 2/3, 5/6, 1/2 , 45/87 הם שברים אמיתיים.
אם המונה גדול מהמכנה קוראים לזה שבר מדומה. דוגמאות לשברים מדומים: 43/32, 6/4, 98/32.

השבר המדומה גדול מ- 1 ויכול להיות מיוצג גם ע"י מספר שם ושבר, ואז הביטוי נקרא שבר מעורב
דוגמאות לשברים מעורבים: 

פעולת פישוט השבר ע"י חלוקת המונה והמכנה במספר שלם כלשהו נקראת צמצום.


דוגמא  1 - חיבור שני שברים אמיתיים
פשט את הביטוי 

פתרון:
נמצא תחילה את המכנה המשותף לשני מכני השברים 3, 7. מכנה משותף הוא מספר שלם הקטן ביותר המתחלק ללא שארית במכנים.

בתרגיל זה המכנה המשותף הוא של 7 ו- 3 הוא 7*3 = 21
נפתור:

דוגמא 2 - חיסור שבר מעורב משבר מעורב
פשט את הביטוי 

פתרון
דרך 1: נפרק את הביטוי לשלמים ושברים בנפרד כל אחד ונפתור

דרך 2 היא להציג את השברים נמעורבים בצורת שברים מדומים ולפתור:

דוגמא 3 - חיבור וחיסור שברים מעורבים

פתור :


פתרון

שיטת הפרדת משתנים לפתרון משוואה דיפרנציאלית מהמעלה הראשונה

משוואות דיפרנציאליות רגילות רבות ניתנות לפישוט לצורה:


נפתח ונקבל


אם f ו- g הן פונקציות רציפות האינטגרל קיים ואנו יכולים למצוא את הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית מהצורה:

שיטת פתרון זאת נקראת הפרדת משתנים.

דוגמא 1:

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית:



פתרון:


שים לב: חשוב להציב את קבוע האינטגרציה c מיד כאשר מבוצעת האינטגרציה.

דוגמא 2:

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית:  y' = ky

פתרון:


כאשר C1 הוא קבוע האינטגרציה.
נציב:

ונקבל:

מציאת פתרון כללי אקספוננציאלי למשוואה דיפרנציאלית מהמעלה הראשונה

מהו הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית y' = y

פתרון:

הפתרון הכללי של  משוואה דיפרנציאלית מהצורה y' = ky  הוא:

כאשר c הוא קבוע כלשהו תלוי בתנאי התחלה

בדיקה:


לכן הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית y' = y הוא:

מציאת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית מהמעלה הראשונה באמצעות אינטגרציה פשוטה

מציאת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית מהמעלה הראשונה באמצעות אינטגרציה פשוטה

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית:


פתרון:

למשוואה דיפרנציאלית מהצורה : 

מוצאים פתרון כללי ע"י ביצוע אינטגרציה בשני האגפים. ע"פ השיטה:

 
כאשר c ימצא ע"פ תנאי התחלה כלשהם

נפתור עתה את המשוואה:





דוגמא 2:
פתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
 

 פתרון:
נפתור באותה שיטה

 

דוגמא 3:
פתור את המשוואה הדיפרנציאלית:


פתרון באותה השיטה: