גרפים של פרבולות - חלק ב

לצפיה בגרפים של פרבולות חלק א הקלק כאן

 נבחן את הפונקציה הריבועית מהצורה   y = aᐧx2 + c
 a, c הם פרמטרים, ו- x, y הם הפונקציה והארגומנט.


 נבחן את הפונקציות הריבועיות הבאות:

y = x2 + 3

y = x2 - 2

y = -x2 + 2

y = -2x2 - 1


 להלן הגרפים של הפונקציות
 
גרפים של פרבולות עם נקודות מינימום / מקסימום, ועם / ללא נקודות חיתוך עם הצירים
גרפים של פרבולות עם נקודות מינימום / מקסימום, ועם / ללא נקודות חיתוך עם הצירים


לסיכום, כאשר    y = aᐧx2 + c

1. הפרבולה סימטרית ביחס לציר y (וקדקודה על ציר y)
2. גודלו של a משפיע על הגרדיאנט של הגרף (שינוי הגרף ביחס ל- x, רוחב הפרבולה), ככל ש- a  גדול יותר הפרבולה רחבה יותר.
3. הקבוע c הוא נקודת חיתוך הפרבולה עם ציר y.
4.  כאשר a חיובי לפרבולה נקודת מינימום, וכאשר a שלילי לפרבולה נקודת מקסימום.

גרפים של פרבולות - חלק א

נבחן את הפונקציה הריבועית מהצורה  y = aᐧx²
a הוא פרמטר, ו- x, y הם הפונקציה והארגומט

נתחיל כאשר a > 0 ונבחן 3 פונקציות:
 y = x²
 y = 3x²
 y = ½ᐧx²

הגרפים יראו כך:
גרפים של פרבולות עבור a > 0
גרפים של פרבולות עבור a > 0

נבדוק עבור a < 0  ונבחן את שלשת הפונקציות:
 y = -x²
 y = -3x²
 y = -½ᐧx²

הגרפים יראו כך:
גרפים של פרבולות עבור a < 0
גרפים של פרבולות עבור a < 0


נוכל לסכם עבור y = aᐧx² :   

א. קודקוד הפרבולה נמצא בראשית הצירים.
ב. הפרבולה סימטרית ביחס לציר y
ג. גודלו של a משפיע על הגרדיאנט של הגרף (שינוי הגרף ביחס ל- x, רוחב הפרבולה), ככל ש- a  גדול יותר הפרבולה רחבה יותר.
ד. כאשר a חיובי לפרבולה נקודת מינימום, וכאשר a שלילי לפרבולה נקודת מקסימום.

לצפיה בגרפים של פרבולות חלק ב הקלק כאן

דלתון חסום במלבן - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שאלה 5 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

נתון: המרובעים ABCD ו- PLCD הם מלבנים. הנקודה K היא אמצע הצלע AB. הנקודה M היא אמצע הצלע DC.
O היא נקודת המפגש של אלכסוני המרובע KLMP 

דלתון חסום במלבן
א. הוכיחו: המרובע KLMP הוא דלתון.

ב. נתון גם   KO = PL / 2.

הוכיחו: AKOP הוא ריבוע.

ג. נתון גם:   PK = √2  יחידות.
   
הנקודה P מחלקת את הצלע AD כך ש:  AP:PD = 1:3.
חשבו את שטח המלבן ABCD.


פתרון

א.  נוכיח שהמרובע KLMP הוא דלתון ע"י הוכחת שוויון הצלעות הסמוכות: KL = KP, MP = ML

נוכיח חפיפת משולשים: KBL, KAP

1: AK=BK  - נתון - (הנקודה K היא אמצע הצלע AB)
2: - זויות המלבן ABCD שוות 90 מעלות ושוות ביניהן.

 CL = DP - צלעות נגדיות במלבן PLCD שוות
 AD = BC -  צלעות נגדיות במלבן ABCD שוות

3: BC - CL = AD - DP   - הפרשים בין גדלים שווים
4: BL = BC - CL - נתון
5: AP = AD - DP  - נתון

6:  AP = BL - נובע מ- 3,4,5

     - נובע מ- 1,2,6 - צ.ז.צ
7: מהחפיפה נובע: KL = KP

8:   בדרך דומה מוכיחים שיוויון צלעות ML = MP ע"י חפיפת משולשים  MCL, MDP

מהשיוויונות KL = KP ו- ML = MP נובע כי המרובע KLMP הוא דלתון. ( מרובע שיש לו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות השוות זו לזו, הוא דלתון)

ב. נוכיח כי מרובע AKOP הוא ריבוע ע"י שיוויון בין צלעות סמוכות ושיוויון זויות המרובע ל- 90 מעלות
הוכחה
1: PO =OL - האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו  - דלתון KPML , אלכסון ראשי KM, אלכסון משני PL
2:      - האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו  - דלתון KPML , אלכסון ראשי KM, אלכסון משני PL

3: AK ||PO - שתי הצלעות מקבילות לצלע CD (מאחר ומרובעים ABCD, PLCD מלבנים)
4: באותה דרך מוכיחים KO||AP

מרובע  AKOP ריבוע - נובע מ- 1,2,3,4 - מרובע ששתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות, זוג צלעות סמוכות שוות והזוית ביניהן ישרה  ריבוע עקב שוויון כל צלעותיו וזויותיו.

מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח - מאי 2014 - שאלות 19-21 ופתרונן

להלן פתרון לשאלות 19-21 מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח שנערך במאי 2014.
להורדת המבחן בקובץ PDF הקלק כאן

שאלה 19

אלעד מעוניין לשלוח חבילה. הוא בדק מחירים בשתי חברות משלוחים:

(1) חברת "איילה" גובה תשלום התחלתי ותשלום בעבור משקל החבילה בק"ג.
(2) חברת "הצבי" אינה גובה תשלום התחלתי, אך גובה תשלום בעבור משקל החבילה בק"ג.
הגרפים שלפניכם מתארים את המחירים בש"ח (y) כפונקציה של משקל החבילה בק"ג (x) בכל אחת מחברות המשלוחים.

א. מהו משקל החבילה (בק"ג) שבעבורו יהיה המחיר בחברת “הצבי" שווה למחיר בחברת “איילה"?

ב. סַמנו את הפונקציה המתארת את המחיר בש"ח (y) כפונקציה של משקל החבילה בק"ג (x) בחברת   “הצבי".
y = x .1
y = 3x .2
y = 10x .3
y = 15x .4

ג. גם חברת "יונה" גובה תשלום התחלתי ותשלום בעבור משקל החבילה בק"ג. אלעד בדק מחירים גם בחברת "יונה" ומצא שלא משנה מה יהיה משקל החבילה, המחיר שישלם לחברת "יונה" יהיה גבוה יותר מהמחיר שישלם לכל אחת משתי החברות האחרות.

כִּתבו דוגמה לפונקציה קווית המתארת את המחיר בש"ח (y) כפונקציה של משקל החבילה בק"ג (x) בחברת “יונה".

פתרון

א. ניתן לראות כי הגרפים של חברות "הצבי" ו"איילה" מציגים ערך מחיר (הגרפים נחתכים) זהה כאשר משקל החבילה הוא 4 ק"ג.

ב. ניתן לראות בגרף חברת שכאשר משרל החבילה 1 ק"ג, המחיר 15 ש"ח, עבור משקל 2 ק"ג המחיר 30 ש"ח, לכן קשר המחיר בש"ח (y) כפונקציה של משקל החבילה בק"ג (x) בחברת   “הצבי" הוא  y = 15x, כלומר תשובה 4 היא הנכונה.

ג. כדי שהמחיר של חברת "היונה" יהיה תמיד יותר גבוה נציב 2 דרישות. נקודת חיתוך עם ציר y גדולה מ- 20 וזה כדי שמחיר התחלתי של חברת היונה יהיה גבוה מחברת "איילה", וכן נדרוש ששיפוע הפונקציה הקוית יהיה גדול מ- 15 כדי שמחיר לק"ג של חברת "היונה" יהיה גבוה מחברת "הצבי".
לפיכך אם הפונקציה קווית המתארת את המחיר בש"ח (y) כפונקציה של משקל החבילה בק"ג (x) בחברת “יונה", הוא מהצורה: y = ax +b
נדרוש ש: b>20 , a>15
דוגמאות:
y = 20x +25
y = 30x +40

להלן דוגמא לגרף חברת "היונה"  y = 20x +25
דוגמא לגרף חברת "היונה"  y = 20x +25

שאלה 20
למשפחת מרום טלוויזיה מלבנית המורכבת ממסך וממסגרת, כפי שמתואר בסרטוט שלפניכם .
המסך בסרטוט צבוע בלבן, והמסגרת צבועה באפור.
גודל המסך הוא 25 אינצ'ים. גודל המסך נקבע על פי אורך אלכסונו (ללא המסגרת)

המידות בסרטוט הן באינצ'ים.
א . x מייצג את הצלע הקצרה של המסך. על פי הנתונים שבסרטוט חַשבו את x (באינצ'ים). הַציגו את דרך הפתרון

 ב . מהו שטח המסגרת הצבועה באפור (באינצ'ים ריבועיים)? הַציגו את דרך הפתרון.
ג . מרחק הישיבה המומלץ לצפייה בטלוויזיה גדול פי– 3 מגודל מסך הטלוויזיה (אלכסון המסך).
נתון: 2.54 ס"מ = 1 אינץ'.
באיזה מרחק מהמסך במטרים מומלץ למשפחת מרום לצפות בטלוויזיה?
הַציגו את דרך הפתרון.

 א.  צורת מסך הטלביזיה היא מלבן שאלכסונו מחלק אותו לשני משולשים ישרי זוית, כאשר האלכסון הוא היתר וצלעות המסך הן הניצבים. אורך האלכסון הוא 25 אינטש ואורך ניצב אחד הוא 20 אינטש. ניתן למצוא אורך ניצב שני (צלע קצרה של המסך - x) באמצעות משפט פיתגורס:
 

 אורך הצלע הקצרה של המסך הוא 15 אינטש

ב. שטח המסגרת הצבועה באפור שווה לשטח מלבן חיצוני (מסגרת + מסך) פחות שטח מלבן פנימי (מסך).
צלעות המלבן הפנימי הינן: 20x15 . ע"פ השרטוט צלעות המלבן החיצוני גדולות ב- 8 אינטש כל אחת מצלעות המלבן הפנימי. לכן צלעות מלבן חיצוני: 28x23 אינטש.
שטח המסגרת הוא הפרש השטחים:
s = 23*28 - 15*20 = 344
שטח המסגרת הוא 344 אינטש בריבוע.

ג. נחשב תחילה את מרחק הישיבה המומלץ באינטשים ואח"כ נמיר למטרים.
מרחק הישיבה המומלץ לצפייה בטלוויזיה גדול פי– 3 מגודל מסך הטלוויזיה (אלכסון המסך השווה ל- 25 אינטש). לכן המרחק שווה: 3 * 25 = 75 אינטש.
באינטש  אחד יש 2.54 לכן ב- 75 אינטש יש: 75 * 2.54 = 190.5 ס"מ = 1.905 מטר.
המרחק המומלץ למשפחת מרום לצפות בטלוויזיה הוא 1.905 מטר



שאלה 21 - מעגל במערכת צירים
לפניכם מערכת צירים שבה מסורטט מעגל. AB הוא קוטר המעגל.

א . מהו האורך של רדיוס המעגל ביחידות אורך?
1. 10
2. 7
3. 5
4. 4
ב . מהו היקף המעגל ביחידות אורך?

 פתרון

א. AB הוא קוטר המעגל. אורכו של AB הוא המרחק בין נקודה A לנקודה B. מאחר ו- AB הוא קטע אופקי המרחק שווה למרחק בין שיעורי x של נקודות A, B:
 
קוטר המעגל הוא 10 יחידות ולכן רדיוסו 5 יחידות. תשובה 3 היא הנכונה.

ב. היקף P של המעגל שווה:

היקף המעגל הוא 31.42 יחידות

מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח - מאי 2014 - שאלות 16-18 ופתרונן

 להלן פתרון לשאלות 16-18 מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח שנערך במאי 2014.
להורדת המבחן בקובץ PDF הקלק כאן


שאלה 16 - פונקציה לינארית


לפניכם גרף של פונקציה קווית שעליו מסומנות הנקודות .A, B
א . מהי משוואת הישר AB ? הַציגו את דרך הפתרון.
ב . מהו התחום שבו הפונקציה חיובית?
גרף של פונקציה קווית שעליו מסומנות הנקודות .A, B
גרף של פונקציה קווית שעליו מסומנות הנקודות .A, B

פתרון:

א. למציאת משוואת פונקציה קוית (פונקציה לינארית), נמצא תחילה את שיפוע הישר ע"פ שתי הנקודות דרכן הוא עובר, ואח"כ נמצא את משוואת ישר במערכת צירים ע"פ שיפוע ונקודה דרכה עובר

מציאת שיפוע הישר AB
 בנוסחה למציאת שיפוע m של ישר העובר דרך שתי נקודות
השיפוע m נתון בנוסחה: 

לכן שיפוע הישר AB :   

מציאת משוואת הישר AB ע"פ השיפוע 3- והנקודה (5,0) דרכה הוא עובר
משוואת הישר בעל שיפוע m העובר דרך נקודה     היא:  
 
משוואת AB הישר:   y= -3x +15

ב. הפונקציה חיובית כאשר y >0 או כאשר הגרף מעל ציר x. ניתן לראות שהתחום הוא כאשר x<5


שאלה 17 - בעיה כללית

מחיר עט יקר ב– 10 ש"ח ממחיר מחברת.
אייל קנה 15 עטים ו– 25 מחברות.
הסכום ששילם אייל בעבור כל העטים היה גדול פי– 3 מהסכום ששילם בעבור כל המחברות.
מהו מחירה של מחברת?
הַציגו את דרך הפתרון.

פתרון

נציב x - מחיר מחברת (בש"ח), מחיר עט יקר ב- 10 ש"ח ממחיר מחברת,
לכן x + 10 - מחיר עט (בש"ח)

מחיר 15 עטים: 
מחיר 25 מחברות: 25x

הסכום ששילם אייל בעבור כל העטים היה גדול פי– 3 מהסכום ששילם בעבור כל המחברות:
 
נפתור את המשוואה כדי למצוא את  x - מחיר מחברת:



מחירה של מחברת הוא 2.5 ש"ח.


שאלה 18

על מערכת הצירים שלפניכם מסומנות נקודות.
נקודות A M P T Q על מערכת צירים
נקודות A M P T Q על מערכת צירים
 
ישר מסוים עובר דרך הנקודה ( A(0,–6 והשיפוע שלו הוא 2 . איזו נקודה מהנקודות שלפניכם נמצאת על הישר?
T .1
M .2
Q .3
P .4

 
פתרון:
התשובה הנכונה היא מספר 4 - נקודה P.
שיפוע הישר הוא 2 - מספר חיובי,  לכן מדובר בפונקציה קוית עולה, לכן האפשרויות מצטמצמות לנקודות P, M.
מאחר והשיפוע הוא 2, קצב העליה של y גדול פי 2 מזה של x, מכאן הנקודה המתאימה היא P. נקודה M מתאימה לשיפוע 1.

פפונקציה קוית עולה - שיפוע 2
פפונקציה קוית עולה - שיפוע 2

מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח - מאי 2014 - שאלות 13-15 ופתרונן

 להלן פתרון לשאלות 13-15 מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח שנערך במאי 2014.
להורדת המבחן בקובץ PDF הקלק כאן

שאלה 13 - שיפוע פונקציה לינארית


נתונה הפונקציה הקווית . y = – 4x + 8
א . סמנו את הפונקציה שהגרף שלה מקביל לגרף של הפונקציה הנתונה.
y – 4x = 12  .1
y + 4x = 12  .2
y = 4x + 8  .3
y = 4x – 8  .4
הַסבירו את בחירתכם

ב . כִּתבו דוגמה לפונקציה קווית עולה העוברת בנקודת החיתוך של הפונקציה
y = – 4x + 8 עם ציר y.

פתרון

א. הפונקציה y = – 4x + 8 היא פונקציה לינארית מהצורה y = aᐧx +b כאשר a מציין את שיפוע הישר, ו- b היא נקודת חיתוך עם ציר y.
גרף פונקציה לינארית y = – 4x + 8
גרף פונקציה לינארית y = – 4x + 8

כדי למצוא גרף לינארי מקביל יש למצוא את הפונקציה עם השיפוע 4-. התשובה המתאימה לכך היא תשובה מספר 2: y + 4x = 12  או:  y= -4x + 12

ב. כפי שכתבנו בסעיף א: בפונקציה לינארית מהצורה y = ax +b הפרמטר a מציין את שיפוע הישר, ו- b היא נקודת חיתוך עם ציר y. כדי למצוא פונקציה קווית עולה העוברת בנקודת החיתוך של הפונקציה
y = – 4x + 8 עם ציר y, נבחר פונקציה שבה a > 0 , ו: b = 8 לדוגמא:

y = 2x + 8
y = 6x + 8


שאלה 14

נֹגה שׂחתה בברֵכה בכל יום במשך חמישה ימים, בממוצע 200 מטר ביום. בשלושת הימים הראשונים היא שחתה יותר מ– 200 מטר בכל יום.
א . האם ייתכן שביום החמישי שחתה נגה 300 מטר?

אם כן, כִּתבו דוגמה למרחקים ששחתה בכל אחד מהימים.
ביום הראשון : _____ מטר
ביום השני : _______ מטר
ביום השלישי :____ _מטר
ביום הרביעי : _____ מטר
ביום החמישי : _____ מטר

אם לא, הַסבירו מדוע.

ב . האם ייתכן שביום החמישי שחתה נגה 400 מטר?
אם כן, כִּתבו דוגמה למרחקים ששחתה בכל אחד מהימים.
ביום הראשון : _____ מטר
ביום השני : _______ מטר
ביום השלישי :____ _מטר
ביום הרביעי : _____ מטר
ביום החמישי : _____ מטר
אם לא, הַסבירו מדוע.

פתרון

א. התשובה לשאלה: האם ייתכן שביום החמישי שחתה נגה 300 מטר? היא חיובית. נגה שחתה 200 מטר בממוצע ליום במשך 5 ימים, לכן בכל ה- 5 ימים שחתה נגה 5 * 200 = 1000 מטר.

נציג דוגמא שבשלשת הימים הראשונים שחתה נגה יותר מ- 200 מ' וביום החמישי שחתה 300 מ', ובסה"כ שחתה נגה 1000 מטר.
ביום הראשון : 210 מטר
ביום השני : 210 מטר
ביום השלישי 210 מטר
ביום הרביעי : 70 מטר
ביום החמישי : 300 מטר
סה"כ 1000 מ' שחתה נגה

ב. נבדוק מה קורה אם שחתה נגה 400 מ' ביום החמישי. נניח כי בשלשת הימים הראשונים שחתה 200 מ' כל יום, למרות שנתון כי שחתה יותר,

ביום הראשון : 200 מטר
ביום השני : 200 מטר
ביום השלישי 200 מטר
ביום הרביעי : 0 מטר
ביום החמישי : 400 מטר
סה"כ 1000 מ' שחתה נגה

 ניתן לראות כי ביום רביעי לא שחתה נגה, אילו היhתה נגה שוחה בשלשת בימים הראשונית יותר מ- 200 מ' כל יום. וגם ביום רביעי, אזי סה"כ הייתה שוחה יותר מ- 1000 מ' בכל ה- 5 ימים ולכן יותר מ- 200 מ' בממוצע ליום. סותר את נתוני השאלה.
לכן לא יתכן כי ביום חמישי שחתה נגה 400 מ'. 


שאלה 15 - נפח תיבה, בעיית אחוזים

לפניכם סרטוט של תיבה. מידות התיבה נתונות בסרטוט

תיבה
תיבה

נפח תיבה אחרת גדול ב– 40% מנפח התיבה הנתונה.
כִּתבו דוגמה למידות אפשריות של התיבה האחרת.
הַציגו את דרך הפתרון.

פתרון

נפח התיבה בסרטוט הוא מכפלת שלשת המקצועות שלה: 10 * 5 * 6 = 300 סמ"ק

נפח התיבה הגדולה יותר, הנו גדול ב- 40% מהתיבה בסרטוט לכן נפחה: 1.4 * 300 = 420 סמ"ק
מידות אפשריות של התיבה הגדולה הם שלשה מידות שמכפלתן 420 סמ"ק.
דוגמאות (המידות בס"מ):
5, 6 , 14
5, 7 , 12

קטע אמצעים בטרפז

קטע אמצעים בטרפז - קטע אמצעים בטרפז, הוא קטע אשר מחבר בין אמצעי שוקי הטרפז. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסי הטרפז ושווה למחצית סכומם.
 
קטע אמצעים בטרפז

ABCD טרפז

EF - קטע אמצעים בטרפז

DE = AE

CF = BF

AB || CD || EF

EF = (AB + CD)/2

 

שאלה 4 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שאלה 4 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

תרגיל פתור: מעוין שאחד מאלכסוני שווה לצלע
מעוין שאחד מאלכסוני שווה לצלע

המרובע ABCD מעוין. E נקודת הפגישה של האלכסונים. נתון: ABD משולש שווה צלעות.
 EP || BC

הוכיחו:

א. הנקודה P היא אמצע הצלע AB

ב. 

ג. המרובע PADE טרפז שווה שוקיים.

פתרון

א. מתבוננים במשולש ABD. משולש ABD שווה צלעות (נתון). E היא אמצע הצלע BD מאחר ואלכסוני המעוין (BD ו- AC) חוצים זה את זה.
 PE מקביל ל- BC (נתון) אך גם מקביל ל- AD מאחר והמעוין (ABCD) הוא מקבילית שצלעותיה הנגדיות מקבילות.
מצאנו כי PE מקביל ל- AD ועובר דרך אמצע צלע BD במשולש ABD. מכאן ש- PE הוא קטע אמצעים במשולש ABD ולכן גם חוצה את צלע AB.

הוכחה

1: BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
2: EP || BC    - נתון
3: BC|| AD    -  צלעות נגדיות במעוין מקבילות
4. EP || AD  - נובע מ- 2,3
5. PE קטע אמצעים במשולש ABD  - נובע מ- 1,4 - קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת (BD) ומקביל לצלע השלישית (AD) חוצה את הצלע השנייה (AB)
6: AP = BP - נובע מ- 5

מ.ש.ל


ב. נדרש להוכיח דמיון משולשים ABD, PBE. נוכיח כי צלעות משולש PBE שוות באורכן למחצית צלעות ABD.

הוכחה:
1: BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
2. BE = BD/2 - נובע מ- 1
3. AP = BP - הוכח ב- 6 סעיף קודם (א)
4. BP = AB/2 - נובע מ- 3
5.  PE קטע אמצעים במשולש ABD - הוכח ב- 5 סעיף קודם.
6. PE = AD/2 - קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה
7.        - נובע מ- 2,4,6 - אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים - יחס הדימיון הוא 2.
מ.ש.ל

ג. נדרש להוכיח כי המרובע PADE טרפז שווה שוקיים. נוכיח שיוויון שוקי הטרפז.

הוכחה
1. AB = BD - משולש ABD שווה צלעות - נתון
2. BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
3. AP = BP - הוכח ב- 6 סעיף א
4. AP = DE - נובע מ- 1,2,3 - מחצית גדלים שווים, שווים זה לזה
5. PE קטע אמצעים במשולש ABD  - הוכח ב- 5 סעיף א
6. PE||AD - קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה
7.  מרובע PADE טרפז שווה שוקיים - נובע מ- 4,6
מ.ש.ל

משוואה ריבועית עם נעלם אחד - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שאלה 3 - פתרון משוואה עם נעלם אחד - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד


שאלה 3 - פתרון משוואה עם נעלם אחד - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

 ב. פתרו את המשוואה

פתרון

א. משוואה מספר 2 אינה שלב בפתרון המשוואה הנתונה.  המשוואה הנתונה מורכבת משלשה ביטויים, הביטויים 2,3 במשוואה 2 שקולים לביטויים 2,3 במשוואה הנתונה, אך ביטוי מספר 1 שונה (סימן הפוך), לפיכך משוואה מספר 2 אינה יכולה להיות שלב בפתרון.

שאלה 3 - פתרון משוואה עם נעלם אחד - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

ב. נפתור את המשוואה
שאלה 3 - פתרון משוואה עם נעלם אחד - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה של x לכן הם תקפים.

שאלה 2 - יחס שטחי ריבועים - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שאלה 2 - שטח ריבוע - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד


על קיר במוזאון תלויה תמונה ריבועית בגודל 2 מטר על  2  מ' המורכבת ממסגרת (מסומנת בצבע) ותמונה פנימית. הרוחב של המסגרת הוא x מ'. השטח של התמונה הפנימית הוא 64% מהשטח של התמונה כולה.
חשבו את אורך הצלע של התמונה הפנימית. הציגו דרך פתרון.

שאלה 2 - שטח ריבוע - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד
 
פתרון

צורת התמונה החיצונית הוא ריבוע שצלעו 2 מ', שטח התמונה החיצונית: 2*2 = 4 מ"ר
התמונה הפנימית היא בצורת ריבוע שצלעו קטן ב- 2x מצלע התמונה החיצונית.
נסמן אורך צלע תמונה פנימית ב- y, שטח תמונה פנימית הוא:  y2

היחס בין שטחי התמונות הוא  64% כלומר:    y2 / 4 = 0.64

 נפתור את המשוואה למציאת y - אורך צלע התמונה הפנימית:

y2 / 4 = 0.64
(y/2)2 = 0.82
y / 2 = 0.8
y = 1.6
 אורך צלע התמונה הפנימית הוא 1.6 מ'.