משיכת שתי מסות מחוברות בחבל על משטח אופקי

שאלה
שני ארגזים מחוברים עם חבל מונחים על משטח. מסת הארגז A היא ומסת הארגז B היא . מקדם החיכוך הדינמי בין הארגזים למשטח הוא . הארגזים נמשכים ימינה בעזרת כח F במהירות קבועה.
חשב בעזרת הביטויים את:
א. גודל הכוח F
ב. המתיחות T של החבל המחבר את שני הארגזים.

 

פתרון

הארגזים נעים במהירות קבועה לכן סכום הכוחות הפועלים על כל ארגז שווה 0.

נשרטט דיאגרמת גוף חופשי של ארגז B:

דיאגרמת גוף חופשי ארגז B

מאחר וארגז B נע במהירות קבועה סכום הכוחות הפועלים עליו בכל כיוון של הצירים שווה 0, בנוסף כיוון התנועה של ארגז B הוא ימינה לכן כוח החיכוך על הארגז פועל שמאלה (כוח חיכוך פועל נגד כיוון התנועה).
לכן:


מכאן ניתן לחשב את המתיחות T בחבל המחבר את שני הארגזים:

וזהו פתרון סעיף ב.

 

דיאגרמת גוף חופשי ארגז A:

דיאגרמת גוף חופשי ארגז A

מאחר וארגז A נע במהירות קבועה סכום הכוחות הפועלים עליו בכל כיוון של הצירים שווה 0, בנוסף כיוון התנועה של ארגז A הוא ימינה לכן כוח החיכוך על הארגז פועל שמאלה (כוח חיכוך פועל נגד כיוון התנועה).
לכן:


המתיחות T בחבל המחבר שני הארגזים חושבה לעיל:

מכאן ניתן לחשב את ערכו של הכוח F המושך את הארגזים:

וזהו פתרון סעיף א.

חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים

נתון 

 

 
משולש שווה שוקיים ABC שבו   AB = AC

 AO חוצה זוית BAC כך ש:


צריך להוכיח 


הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABO, ACO באמצעות צ.ז.צ

1: AB = AC - נתון
2: AO = AO - צלע משותפת
3: - נתון


4: - לפי צ.ז.צ - אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.

מ.ש.ל

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות. צלעות אלו מכונות שוקיים. הצלע הנוספת היא בסיס. הקודקוד שבו שתי השוקיים נפגשות נקרא קודקוד המשולש, והזוית הנוצרת בין השוקיים נקראת זוית הקודקוד. שתי הזויות הנוספות הן זויות הבסיס.

לדוגמא במשולש שווה שוקיים להלן ABC שבו AB = BC נאמר כי:
A הוא קודקוד המשולש.
זוית A היא זוית קודקוד (המשולש).
הצלעות AB, AC הן שוקיים.
BC הוא בסיס.
זויות B, C הן זויות הבסיס.

משולש שווה שוקיים ABC

תכונות משולש שווה שוקיים

 

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.

 
חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפיםבמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).

מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.

במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.

אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות

משפט חפיפה ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים

נתון

משולשים ABC, EFG

משולשים ABC, EFG

 

E⦠ = וA⦠

F⦠ = וB⦠

AC = EG


צריך להוכיח:  ABC ≅ △EFG△

הוכחה

 
נוכיח כי זויות C, G שוות ולאחר מכן נוכיח חפיפה באמצעות ז.צ.ז.

1: 

E⦠ = וA⦠ - נתון

F⦠ = וB⦠- נתון

2:  G⦠ = וC⦠ - נובע מ- 1  - אם שתי זויות (זויות A, B) במשולש אחד (משולש ABC) שוות לשתי זויות (זויות E, F) במשולש השני (משולש EFG) אזי גם הזוית השלישית (זויות C, G) שווה בשני המשולשים

3: AC = EG - נתון

4:  ABC ≅ △EFG△  - נובע מ- 1,2,3 - לפי משפט חפיפה ז.צ.ז  אם בשני משולשים (ABC, EFG) שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.

מ.ש.ל

אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש השני אזי גם הזוית השלישית שווה בשני המשולשים

נתון

 

 

שני משולשים ששתיים מזוויותיהם שוות

 

 משולשים ABC, EFG


צריך להוכיח


הוכחה
1:
  - נתון

2: - נובע מ-1

3:
  - סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות
4:    - נובע מ- 3

5: - הצבת 2 ב- 4

6: - נובע מ- 5

מ.ש.ל

הוכח: גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים

נתון:

ABC ≅ △RST△  

AB ⊥ CD ,  RS ⊥ TV

 

גבהים מתאימים במשולשים חופפים שווים

 

 

צריך להוכיח

 
CD = TV

הוכחה

נוכיח ע"י חפיפת משולשים ACD ו- RTV

1: AC = RT - צלעות מתאימות במשולשים חופפים ( ABC ≅ △RST△  - נתון)

2: - זויות מתאימות  

במשולשים חופפים ( ABC ≅ △RST△ - נתון)

3: - נתון (גבהים CD ל- AB ו- TV ל- RS)

4:  ADC ≅ △RTV△ - נובע מ: 1,2,3 לפי ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים.

5: CD = TV - נובע מ- 4 - חלקים מתאימים שווים במשולשים חופפים.

מ.ש.ל

הוכחת נוסחת מספר אלכסונים במצולע בדרך האינדוקציה

הוכח בדרך האינדוקציה כי מספר האלכסונים D במצולע (קמור) בעל n צלעות הוא:


הוכחה:
נתחיל מבדיקת הנוסחה עבור מרובע שהוא מצולע בעל מספר צלעות הנמוך ביותר שיש לו אלכסונים.
למרובע 4 צלעות n = 4 ושני אלכסונים  D = 2

למרובע שני אלכסונים

נבדוק:

הבדיקה הצליחה.

נניח שעבור n = k מספר האלכסונים במצולע הוא :


צריך להוכיח שעבור n = k+1 מספר האלכסונים הוא:


1: 

נדמיין מצולע בעל k צלעות ו- k קודקודים בעל D אלכסונים. אם נוסיף קודקוד נוסף נקבל מצולע חדש (בעל k+1 קודקודים, צלעות) עם אותם אלכסונים ועוד k-1 אלכסונים נוספים שנוצרו עקב הקודקוד החדש.

הקודקוד החדש יוצר k-2 אלכסונים חדשים עם קודקודים שאינם סמוכים לו ועוד אלכסון שנוצר מצלע שהפכה לאלכסון.

לדוגמא - הוספת קודקוד למרובע והפיכתו למחומש:
 המחומש להלן הוא כמו המרובע לעיל בתוספת קודקוד C. נוצרו 2 אלכסונים מחיבור C עם 2 קודקודים שאינם סמוכים ל- C ועוד אלכסון מצלע AB שהפכה לאלכסון סה"כ נוצרו 4-1 = 3 אלכסונים.

לכן מספר האלכסונים במצולע בעל k+1 קודקודים (צלעות):


וזה מה שנדרשנו להוכיח באינדוקציה ב- 1 לעיל.

סכום הזויות החדות במשולש ישר זוית שווה 90 מעלות

נתון 

משולש ABC ישר זוית


 

משולש ישר זווית ABC

 

צריך להוכיח 

הוכחה

1: - נתון
2:  - סכום זויות במשולש (ABC) שווה 180 מעלות
3: - הצבת 1 ב- 2
4:

מ.ש.ל

זויות במשולש

מהמשפט כי סכום הזויות במשולש שווה 180 מעלות נובעים מספר משפטים נוספים שהם די ברורים:

1. כל זוית במשולש שווה צלעות שווה 60 מעלות - משפט זה נובע מהעובדה כי במשולש שווה צלעות כל הזויות שוות (מטעמי סימטריה) וסכומן 180 מעלות, לכן כל זוית שווה 60 מעלות.

2. סכום הזויות החדות במשולש ישר זוית שווה 90 מעלות - סכום כל הזויות במשולש ישר זוית הוא 180 מעלות. זוית אחת היא ישרה שגודלה 90 מעלות ולכן סכום השתי הזויות הנוספות הוא 90 מעלות (משלים ל- 180 מעלות סכום הזויות במשולש).

להלן ההוכחה:

נתון 
משולש ABC ישר זוית

 

 

צריך להוכיח 


הוכחה
1: - נתון
2:  - סכום זויות במשולש (ABC) שווה 180 מעלות
3: - הצבת 1 ב- 2
4:



3. אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש שני, אז גם הזוית השלישית במשולש האחד שווה לזוית השלישית במשולש השני - ההוכחה נובעת מכך שסכום הזויות בכל אחד מהמשולשים הוא 180 מעלות. מאחר ששתי זויות במשולש אחד שוות לשתיי במשולש השני הרי שסכומן שווה גם בשני המשולשים, מכאן מהזוית השלישית בכל אחד מהמשולשים שווה ל180 מעלות פחות סכום שתי הזויות ולכן הזוית השלישית שווה בשני המשולשים.

4.
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה

 

הוכחת המשפט:

נתון: משולש ABC שבו שלשה זוויות פנימיות A, B1, C וזוית חיצונית B2 הצמודה לזווית B1.

 

  

 

צריך להוכיח: זוית B2 = זוית A + זוית C

הוכחה:

1. זוית B1 וזוית B2 צמודות ולכן סכומן 180 מעלות
2. זויות B1 וזויות A, C הן זויות המשולש ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זויות המשולש 180 מעלות

מכאן זוית B2 = זוית A + זוית C - נובע מ-1 ו-2. שני הגדלים משלימים עם זוית B1 ל- 180 מעלות ולכן הגדלים שווים.

מ.ש.ל