סכום צלעות נגדיות של מרובע חוסם מעגל שוות

נתון

ABCD מרובע שחוסם מעגל.

H, G, F, E נקודות השקה.

צ"ל

AB + CD = AD +BC

הוכחה

נגדיר את x, y, z, w.

1. H, G, F, E נקודות השקה - נתון.

2. AF = AE = x שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים זה לזה (לפי 1).

3. BF = BG = y שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים זה לזה (לפי 1).

4. CH = CG = z שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים זה לזה (לפי 1).

5. DE = DH = w שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים זה לזה (לפי 1).

6.  AB + CD = x + y +z +w - הצבה לפי 2, 3, 4, 5.

7.  AD + BC = x + y +z +w - הצבה לפי 2, 3, 4, 5.

8.  AB + CD = AD +BC - כלל המעבר לפי 6, 7.

הוכחת המשפט : זווית בין משיק למיתר במעגל שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר

נתון

AB משיק למגל O בנקודה A, ו AD מיתר.

צריך להוכיח

BAD⦠ו = C ⦠

הוכחה

1. נעביר רדיוסים OA ו- OD.

2. 𝜶 ו =  ODA⦠ו = OAD ⦠ - מול צלעות שוות זוויות שוות (לפי 1) + סימון.

3. 𝜶180° - 2𝜶ו= AOD ⦠ - סכום זוויות במשולש AOD שווה 180° (לפי 2)

4.   𝜶90° - 𝜶ו=C ⦠ - זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת (לפי 3).

5. AB משיק  - נתון.

6.   𝜶90°ו=OAB ⦠ - זווית בין משיק לרדיוס שווה 90° (לפי 1,5).

7.   𝜶90° - 𝜶ו = BAD ⦠ -  חישוב (לפי 2, 6).

8. BAD⦠ו = C ⦠ - כלל המעבר (לפי 4,7).

מ.ש.ל.

למיתרים שווים במעגל זוויות מרכזיות שוות - הוכחה

ההוכחה הינה מיידית, נתון כי המיתרים CD ו- AB שווים. מבצעים חפיפת משולשים OCD ו- OAB לפי צ.צ.צ (שיוויון המיתרים והרדיוסים המהווים צלעות המשולשים) ומהחפיפה מסיקים שיוויון הזוויות המרכזיות. 

נתון:

AB = CD

צריך להוכיח:

  COD = ∡AOB⦠ 

הוכחה

1. CO = AO רדיוסים שווים

2. DO = BO  רדיוסים שווים

3. CD = AB נתון

4. COD ≌△AOB△ - לפי משפט חפיפה צ..צ.צ (לפי 1, 2, 3)

5.   COD = ∡AOB⦠  - זוויות מתאימות שוות במשולשים חופפים (לפי 4).

מ.ש.ל.

אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני קווים חותכים למעגל אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת חותך שני בחלקו החיצוני

שיטת ההוכחה:

מוכיחים דמיון משולשים ABE, ו- ACD, באמצעות זווית משותפת A, וזוויות היקפיות שוות (ז.ז.ז.). מהדימיון נובע הנדרש להוכיח: ABᐧAD = ACᐧAE

נתון:

AB ו- AC חותכים את המעגל בנקודות D ו- E.

צריך להוכיח:

AB ᐧ AD = AC ᐧ AE

הוכחה:

1. בניית עזר: נחבר את CD ו- BE.

2. זווית A - משותפת .

3. זווית B = זווית C  -  זוויות היקפיות במעגל הנשענות על אותה הקשת שוות זו לזו.

4. זווית  AEB = זווית ADC - משלימות ל- 180° במשולשים AEB, ו- ADC (לפי 2, 3).

5. AEB ~△ADC△ - לפי משפט דמיון , ז.ז.ז (לפי 2, 3, 4).

6. AE / AD = AB / AC - צלעות מתאימות פרופורציוניות במשולשים דומים (לפי 5).

7. AB ᐧ AD = AC ᐧ AE (נובע מ- 6).

מ.ש.ל

זווית מרכזית במעגל שווה פעמיים לזווית ההיקפית הנשענת על אותה הקשת

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק ב

המשך פתרון מבחן מיצ"ב מתמטיקה לכיתות ח תשע"א ב' - ראה חלק א'

שאלה 7

האם קיימות שתי זוויות צמודות השוות זו לזו? הסבירו את תשובתכם:

פתרון שאלה 7

נניח שיש שתי זוויות צמודות שוות זו לזו, נסמן את גודלן ב- x. 

סכום הזוויות הוא 180° על פי המשפט בשאלה הקודמת:

סכום זוויות צמודות שווה 180° . 

נתאר את סכום הזוויות במשוואה : x + x = 180°

2x = 180°

x = 90°

קיימות שתי זוויות צמודות שוות זו לזו , וכל אחת מהן זווית ישרה (  = 90°)

שאלה מספר 8

סַמנו את המשוואה שהפתרון שלה הוא מספר שלילי.
אין צורך לפתור את המשוואות.

תשובה לשאלה 8

המשוואה שהפתרון שלה שלילי היא משוואה מספר 2, 8x = -17. אם נחלק שני האגפים ב- 8 נקבל
  x = -17/8  - מספר שלילי.

שאלה 9

במגירה של אורן מפוזרים 20 כדורים בשני צבעים. 7 מהכדורים הם בצבע כחול, ושאר הכדורים הם בצבע לבן. אורן מוציא באקראי כדור אחד מהמגירה.
מה ההסתברות שאורן יוציא כדור לבן?

תשובה לשאלה 9:

מגירה יש סה"כ 20 כדורים, 7 כדורים בצבע כחול ושאר הכדורים בצבע לבן. לכן מספר הכדורים בצבע לבן הוא  

20 - 7 =13

ההסתברות להוציא כדור לבן היא: 13/20 .

שאלה 10

סַמנו את המשולש שבו אורך היתר הוא ס"מ.

תשובה לשאלה 10

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

במשולש מספר 2 סכום ריבועי הניצבים שאורכם 2, 3 הוא: , כלומר ריבוע היתר במשולש מספר 2 הוא 13

לכן משולש מספר 2 הוא המשולש שאורך היתר שלו הוא:

שאלה 11

דורית אפתה שתי עוגות שוקולד.
בעוגה הראשונה היא השתמשה ב- 200 גרם שוקולד מריר המכיל 75% קקאו.
בעוגה השנייה היא השתמשה ב- 300 גרם שוקולד חלב המכיל 53% קקאו.

א. באיזו עוגה הייתה כמות גדולה יותר של קקאו?

פתרון שאלה 11

תשובה לסעיף א
כמות הקקאו בעוגה הראשונה:
 



בעוגה הראשונה יש 150 גרם קקאו.

 כמות הקקאו בעוגה השניה:



 בעוגה השניה יש 159 גרם קקאו.

בעוגה השניה יש כמות גדולה יותר של קקאו.


ב. דורית הכינה גם עוגיות שוקולד.

בַּמַתכּוֹן כתוב שיש להשתמש ב- 250 גרם חמאה להכנת העוגיות.
אפשר להחליף את החמאה בשמן, על פי הכלל שלפניכם:
כל 150 גרם חמאה יש להחליף ב- 3/4  כוס שמן.
דורית בחרה להחליף את כל כמות החמאה בשמן.
בכמה כוסות שמן צריכה דורית להשתמש להכנת עוגיות השוקולד? 

תשובה לסעיף ב
דורית צריכה כמות שמן השקולה ל- 250 גרם חמאה.
ל- 150 גרם חמאה שקול 3/4 כוס שמן, ל- 250 גרם חמאה ידרשו:

 ל- 250 גרם חמאה תידרשו כוס ורבע שמן

שאלה 12

אלעד בחר מספר, חיבר לו 4 וכפל את הסכום ב- 3. x מייצג את המספר שבחר אלעד.

א. איזה מהביטויים שלפניכם מייצג את התוצאה שקיבל אלעד?

ב. התוצאה שקיבל אלעד שווה ל- 9 .מִצאו את המספר שבחר אלעד.הַציגו את דרך הפתרון.

פתרון שאלה 12

סעיף א - נסמן ב- x את המספר שבחר אלעד.
אלעד חיבר למספר x את המספר 4 וקיבל 4 + x
את הסכום (4+x) כפל ב- 3 וקיבל:

התשובה הנכונה היא מספר 3.

סעיף ב - התוצאה שקיבל אלעד היא 9. ניתן לתאר את הפעולות של אלעד במשוואה האלגברית: 

3(x + 4) = 9

דרך הפתרון:

3(x + 4) = 9

3x + 12 = 9

3x = 9 - 12

3x = -3

x = -3/3

x = -1

המספר שבחר אלעד הוא 1-

קישורים:

•  תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,    שאלות 13-15 ,   שאלה 18 , שאלה 21 , שאלה 24 
• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א - שאלות 1-6

ראה המשך פתרון - חלק ב

 

 

שאלה 1
פתור את המשוואה: 3x - 5 = 19

פתרון

3x - 5 = 19
3x = 19 + 5
3x = 24
x = 24/3
x = 8

שאלה 2

לפניכם שרטוטים של שני משולשים חופפים.

נתון :  זווית A = זווית D

אורכה של איזו צלע במשולש DEF הוא 12 ס״מ?

פתרון שאלה 2

מול זווית  A נמצאת הצלע AC במשולש ABC. ומול זווית D נמצת הצלע EF. 

מאחר והמשולשים ABC, DEF חופפים והזוויות A, D שוות (נתון), הצלעות מולן שוות גם הן.

בלומר BC = EF =  12cm .

שאלה 3

לפניכם המשוואה 2x + y = -6

נתון y = 4
מצאו את ערכו של x.

פתרון
נציב במשוואה 2x + y = -6 את y = 4 ונפתור אותה.

2x + 4 = -6
2x = -6-4
2x = -10
x = -10/2
x = -5

 

שאלה 4
בכיתה ח1 בבית הספר "עלומים" נערך סקר, ובו נשאלו התלמידים אם הם בעד או נגד תלבושת אחידה בבית הספר.
12 תלמידים השיבו שהם בעד תלבושת אחידה, ו- 28 תלמידים השיבו שהם נגד תלבושת אחידה.
מה היחס בין מספר התלמידים שהצביעו בעד תלבושת אחידה למספר התלמידים שהצביעו נגד תלבושת אחידה?

פתרון:

 
ע"פ נתוני השאלה היחס בין התלמידים בעד תלבושת אחידה (= 12), לאלו נגד תלבושת אחידה (= 28) הוא: 12/28 = 3/7
התשובה היא 3/7

 

שאלה 6

נתונות שתי זוויות צמודות שאחת מהן גדולה מהאחרת ב- 40⁰.

 מה גודלה של כל אחת משתי הזוויות?

רשמו את המשפט שעליו הסתמכתם בתשובתכם.

פתרון שאלה 6

לפתרון השאלה נעשה שימוש במשפט:

סכום זוויות צמודות על עשר הוא 180.

נסמן את הזווית הקטנה ב- x ואת המצודה לה ב- x+40.

על פי המשפט סכום הזוויות הצמודות הוא 180⁰.

מתקבלת המשוואה   x + (x+40) = 180.

נפתח ונמצא את x: 

2x + 40 = 180

2x = 140

x = 70⁰

זווית את היא 70⁰ והזווית השניה היא 40 + 70  = 110⁰

קישורים:

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"ב ב'  - שאלות 1-3 , 4 

 

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק ב שאלות 7-12, 
שאלות 13-16 , שאלה 17 ,  שאלה 18 , שאלה 19 , שאלה 20 , שאלה 21 , שאלה 22 , שאלה 23 ,   שאלה 24
תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

משוואה מעריכית - תרגילים פתורים

דוגמא נוספת:

בעיית תערובת פתורה - ערבוב שתי תמיסות

שאלה 

במיכל נמצאת תמיסת כוהל המורכבת מ-6 ליטרים מים מזוקקים ומ-X ליטרים של כוהל נקי. אם מוסיפים לתמיסה הזו 10 ליטרים תמיסה של כוהל בריכוז של 20% , אז הריכוז של הכוהל במיכל יורד ב-10% .

 מצא את גודלו של X .  

פתרון 

 נתאר את הבעיה בצורה טבלאית: 

 

בעית אחוזים - פתרון בשיטה אלגברית

התרגיל

בכיתה יש 35 תלמידים. במבחן שנערך הצליחו 75 אחוז מהבנים ו-80 אחוז מהבנות. בסה"כ הצליחו 27 תלמידים. מצא כמה בנים וכמה בנות יש בכיתה? 

 

פתרון

 

 

בעיית מהירות עם נעלם אחד - פתרון לדוגמה

שאלה

מכונית אחת יצאה לדרך במהירות של 60 קמ"ש. כעבור שעה יצאה בעקבותיה מכונית שנייה ונסעה במהירות של 75 קמ"ש. מצא את הזמן שעבר מאז יצאה המכונית הראשונה לדרך ועד שהשיגה אותה המכונית השנייה

פתרון
לפנינו שתי מכוניות, אשר עברו מרחק כלשהו לא ידוע: s , המכונית האחת (מכונית א) מהירותה 60 קמ"ש, נסעה במשך זמן t, המכונית השניה (מכונית ב) מהירותה 75 קמ"ש, נסעה זמן t-1.

מקובל לתאר את הבעיה בצורה טבלאית:

מכונית	V - מהירות (קמ"ש)	S – דרך (ק"מ)	T – זמן (שעות)
א	60	S	T
ב	75	S	T-1

ידוע הקשר החשבוני: זמן * מהירות = דרך
או בצורה סימבולית S=V*T

נציב עבור מכונית א: S=60 *T
ועבור מכונית ב: ( S=75* (T-1

נציב ונפתח:

זמן נסיעת המכונית הראשונה הוא 5 שעות.

מעגלים משיקים - מציאת משוואת המשיק המשותף

נתונים שני מעגלים:

(x - 6)² + (y - 3)² = 5 

x² + y² = 80

א. נא להוכיח כי המעגלים משיקים זה לזה.

ב. נא למצוא את משוואת המשיק המשותף.

פתרון

א. נחשב את אורך קטע המרכזים:

        ________        __         _
d = √6^2 + 3^2  =  √45 = 3 √5

נחשב את הפרש אורכי הרדיוסים:

                     __      _         _      _         _
R1 - R2 =   √80 -  √5 = 4 √5 -  √5 = 3 √5

כלומר אורך קטע המרכזים שווה להפרש בין אורכי המחוגים ולכן המעגלים משיקים.

ב.

נמצא את נקודת ההשקה על ידי  פתרון מערכת המשוואות:

(x - 6)² + (y - 3)² = 5 

x² + y² = 80

נפתח משוואה ראשונה

x² - 12x + 36 + y² - 6y +9 = 5

x² + y² = 80

לאחר חיסור שתי המשוואות וסידורן נקבל:

(**) 2x + y = 20

y = 20 - 2x

נציב במשוואת המעגל הקנוני ונקבל:

x² + y² = 80   =>  x² + (20 - 2x)² = 80  =>  5x² - 80x + 320 = 0. =>

x²  - 16x + 64 = 0

x = 8

y = 20 - 2x = 4

כלומר נקודת ההשקה A היא (4 , 8) A .

משוואת המשיק למעגל הקנוני  בנקודה   (4 , 8) A היא :

x·x₁ + y·y₁ = 80

8x + 4y = 80

משוואת המשיק המשותף לשני המעגלים הוא:

2x + y = 20

וזו המשוואה ( **). כלומר שוב כל הדרך הייתה מיותרת! האם זה מקרי ? גם כאן אין הדבר מקרי. הרי ברור שכל נקודה שהצבתה בכל אחת ממשואות המעגלים נותנת פסוק אמת תיתן פסוק אמת גם בהצבתה במשוואה (**). כך ברור שהמשוואה (**) מייצגת ישר העובר דרך הנקודה היחידה המשותפת לשני המעגלים.

הנקודה היא נקודת ההשקה. אך האם ברור שהישר שקיבלנו הוא אכן המשיק? הרי אינסוף ישרים עוברים דרך הנקודה היחידה המשותפת לשני המעגלים. אולם אם הישר שהתקבל לא היה המשיק המבוקש, אך היה עובר בנקודה המשותפת שלני המעגלים, הרי שהיה חותך את שני המעגלים, ואז היו עליו עוד שתי נקודות המקיימות כל אחת רק משוואה של מעגל אחד. בכל אחת מנקודות אלה מתקיימת רק משוואה של מעגל אחד, לכן המשוואה של הישר, המתקבלת מחיסור המשוואות של שני המעגלים, אינה מתקיימת.

מסקנה: זהו המשיק. אפשר להוכיח את תכונת ההשקה גם על-ידי התייחסות לשיפוע של הישר המתקבל. ניעזר במשפט: "כאשר שני מעגלים משיקים זה לזה קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה", כלומר קטע המרכזים מאונך למשיק המשותף.

שיפוע הישר שקיבלנו הוא m₁ = - 2 ואילו שיפוע קטע המרכזים הוא  1/2 = m₂ = (3-0) / (6-0) , כלומר מכפלת השיפועים היא (1-) . לכן קיבלנו ישר העובר דרך הנקודה המשותפת לשני המעגלים ומאונך לקטע המרכזים, לפיכך זהו המשיק המשותף.

הערה: ניתן לראות את מצב ההשקה בין המעגלים גם כמצב גבולי של חיתוך שלהם. כאשר 'החיתוך שואף להשקה', המיתרים המשותפים שואפים למשיק המשותף, ומכאן ההתנהגות הזהה בשתי הבעיות ברורה – ההפרש בין משוואות המעגלים נותן את המיתר / המשיק המשותף. 

אנו פוגשים מצבי גבול של ישרים מספר פעמים לאורך תכנית הלימודים בבית-הספר העל-יסודי, למשל: ניתן לראות קטע אמצעים במשולש כמצב גבולי של קטע אמצעים בטרפז; משיק וחותך למעגל, היוצאים שניהם מנקודה משותפת מחוף למעגל, יכולים להיתפס כמצב גבולי של שני חותכים למעגל היוצאים מאותה נקודה; או, בתחילת ההוראה של מושג הנגזרת מקובל להסתכל על משיק כעל גבול של מיתרים אשר אחת מנקודות הקצה שלהם קבועה והשנייה נעה על הגרף של הפונקציה ומתקרבת-שואפת אליה. 

היופי בתוצאות שקיבלנו ביחס לפשטות התהליך של מציאת המשיק או המיתר המשותף נובע מכך שניתן להסביר אותן תוך שימוש בשיקולים פשוטים וללא הפעלת כלים כבדים של טכניקה אלגברית. יחד עם זאת ניתן לתמוך את התוצאות גם בהוכחה אלגברית פורמלית. הוכחה זו מובאת בסוף המאמר .