הוכח כי הגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ליתר

נתון 

משולש ישר זווית ABC , זווית ACB ישרה .

נדרש להוכיח 

הגובה h ליתר AB שווה למכפלת הניצבים a,b לחלק באורך היתר c  , כלומר h = aᐧb/c .

הוכחה

נחשב את שטח המשולש ישר הזוית ABC בשני דרכים ונשווה ביניהם.

שטח המשולש ישר זוית ABC הוא מחצית מכפלת הניצבים: S=aᐧb/2 .

 שטח המשולש ישר זוית ABC  מחושב גם כמחצית מכפלת היתר בגובה ליתר: S=cᐧh/2 .
 
לכן: aᐧb/2=cᐧh/2

 aᐧb=cᐧh 

לכן הגובה ליתר: h=aᐧb/c 
 
מ.ש.ל

הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר - משפט אוקלידס

הוכחת משפט בגאומטריה: הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר

משולש ישר זווית ABC, זווית C ישרה

נתון

משולש ישר זוית ABC שבו: 90° =  C⦠.

CO גובה ליתר AB בנקודה O.

נסמן :

AO = c - x , BO = x , CO = h , AB = c (ראו איור לעיל)

צריך להוכיח:   (a = √(cx

הוכחה:

משפט פיתגורס במשולש BCO:

a² - x² = h²

משפט פיתגורס במשולש ACO:

b² - (c - x)² = h²

מכאן:

b² - (c - x)² = a² - x² 

משפט פיתגורס במשולש ABC:

a² + b² = c²  

נחלץ את  b²  משתי משוואות:

b²  = (c - x)² + (a² - x²)

b² = c²  - a² 

לכן:

c²  - a²  = (c - x)² + (a² - x²)

נפתח:

c²  - a²  = c² - 2cx + x² +  a² - x² 

3cx = 2a² 

a²  = cx

a = √(cx)

מ.ש.ל

חידה מתמטית - כיצד זה יתכן?

המשולשים מורכבים מארבעה חלקים זהים אשר שינו מקומם. מאין אם כן הופיע ה"חור" במשולש התחתון

בעיה פתורה בגיאומטריה: שני מלבנים זהים ומשולש ישר זווית שווה שוקיים

המרובעים ABCD ו- EFCG הם מלבנים. נתון BC = CG , FC = DC (ראה איור להלן)

הוכח המשולש ACE הוא ישר זווית ושווה שוקיים  

הוכחה: 

השיטה: מבצעים חפיפת משולשים ABC ו- CFE. מהחפיפה נובעים שוויונות הצלעות AC, EF וסכום הזוויות ACB, ECF תשעים מעלות. 

חפיפת משולשים ABC ו- CFE.

1. AB = CD - צלעות נגדיות במלבן ABCD שוות

 2. CD = FC - נתון

 3. AB = FC - נובע מ- 1 ו-2 

 4. CG = AB - צלעות נגדיות במלבן EFCG שוות 

5. CG = BC - נתון

 6. AB = BC - נובע מ-4 ו-5

 7. זווית ABC = זווית EFC = זוויות ישרה - כל הזוויות במלבן ישרות

 8. משוויונים 3,6,7 נובע כי משולש ABC חופף למשולש CFE צ.ז.צ מהחפיפה נובע: EC = AC - מ.ש.ל. 1

9. זווית FCE = זווית CAB - נובע מהחפיפה 8 

10. זווית ACB + זווית CAB = זווית ישרה - סכום הזוויות החדות במשולש ישר זוית ABC שווה 90 מעלות מ-9 ו- 10 נובע:

11. זווית ACB + זווית FCE = זווית ACE = זווית ישרה - הצבה - מ.ש.ל 5

שטח דלתון שווה מחצית מכפלת אלכסוניו

נתון מרובע ABCD דלתון (AB = AD, BC = CD)
אלכסון ראשי AC = a = a1 +a2
אלכסון משני BD = b
נקודה O - נקודת מפגש אלכסוני הדלתון

דלתון עם אלכסוניו

צריך להוכיח: שטח הדלתון (S) שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
כלומר: S = a*b/2

הוכחה:

האלכסון המשני BD = b מחלק את הדלתון לשני משולשים שווי שוקיים ABD, ו- BCD.
כמו כן האלכסונים בדלתון מאונכים אחד לשני, לכן AO=a1 הוא גובה המשולש ABD, ו- CO = a2 הוא גובה המשולש BCD.

שטח המשולש ABD: (בסיס כפול גובה לחלק לשתיים)
S1 = a1*b/2

שטח המשולש BCD:
S2 = a2*b/2

שטח הדלתון הוא סכום שטחי המשולשים ABD, ו- BCD.
או :
S = S1 + S2 = a1*b/2 + a2*b/2 = a*b/2

מ.ש.ל

דלתון - מונחים ותכונות

דלתון - מרובע שיש לו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות השוות זו לזו.

דוגמאות לדלתון

 

 קדקוד הנמצא בין שתי צלעות שוות של הדלתון נקרא קדקוד ראש.

 

דלתון קמור ודלתון קעור

דלתון קמור ודלתון קעור

לדלתון יש אם כן שני קדקודי ראש.
זווית הדלתון שקדקודה הוא "קדקוד ראש" נקראת "זווית ראש"

האלכסון המחבר את שני קדקודי הראש של הדלתון נקרא אלכסון ראשי ואילו האלכסון האחר נקרא אלכסון משני.

שטח הדלתון

שטח הדלתון שווה למחצית מכפלת אלכסוניו.

סקיצה 1 - דלתון

שטח הדלתון בסקיצה 1 יסומן באות A ושווה למחצית מכפלת האלכסון הראשי p באלכסון המשני q:

 

 

תכונות של דלתון:

הזוויות הצדדיות בדלתון שוות זו לזו.

 
האלכסונים מאונכים זה לזה. 

 
האלכסון הראשי חוצה את שתי זוויות הראש.

 
האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני. 

 
האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים.    -  סימטריה שיקופית ביחס לאלכסון הראשי. 

האלכסון המשני יוצר בדלתון שני משולשים שווי-שוקיים שבסיסם המשותף הוא האלכסון המשני. (כשדלתון איננו קמור, משולש אחד נמצא בתוך המשולש האחר.)

שטח דלתון מחושב כמחצית מכפלת האלכסונים

האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

נתון מרובע ABCD דלתון, AB = AD, BC = CD

דלתון ואלכסונו הראשי

 

צריך להוכיח: משולש ABC חופף למשולש ADC

הוכחה:

בניית עזר: בונים את האלכסון הראשי AC.

חפיפת משולשים ABC, ADC:
AB = AD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
BC = CD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
AC = AC - צלע משותפת
מכאן נובע:
משולש ABC חופף למשולש ADC - צ.צ.צ

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: הזוויות הצדדיות בדלתון שוות זו לזו

דלתון ואלכסונו הראשי

נתון מרובע ABCD דלתון, AB = AD, BC = CD

צריך להוכיח: זווית B = זווית D

הוכחה:
שיטה: נבנה בניית עזר את האלכסון הראשי AC, ונוכיח חפיפת משולשים ABC, ADC. מהחפיפה נובע כי הזוויות B,D שוות

בניית עזר: בונים את האלכסון הראשי AC.

חפיפת משולשים ABC, ADC:
AB = AD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
BC = CD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
AC = AC - צלע משותפת
מכאן נובע:
משולש ABC חופף למשולש ADC - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
זוית B = זוית D
מ.ש.ל

האלכסון המשני בדלתון יוצר שני משולשים שווי שוקיים שבסיסם המשותף הוא האלכסון המשני

נתון מרובע ABCD - דלתון (AB=AD, BC = CD)
BD - אלכסון משני בדלתון

דלתון ואלכסונו המשני

צריך להוכיח:
1. משולש ABD שווה שוקיים
2. משולש BCD שווה שוקיים

הוכחה

במשולש ABD:
AB = AD - נתון מהגדרת הדלתון
מכאן נובע: משולש ABD שווה שוקיים שבו השוקיים הם צלעות הדלתון AB, AD שוות, ובסיסו הוא האלכסון המשני BD.
מ.ש.ל 1

במשולש BCD:
BC = CD - נתון מהגדרת הדלתון
מכאן נובע: משולש BCD שווה שוקיים שבו השוקיים הם צלעות הדלתון BC, CD שוות, ובסיסו הוא האלכסון המשני BD.
מ.ש.ל 2

הוכחת משפט בגיאומטריה: האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו

נתון דלתון ABCD שבו AB = AD, BC = CD
AC - אלכסון ראשי בדלתון
BD - אלכסון משני

צריך להוכיח:
1. BO = DO
2. AC מאונך ל- BD

הוכחה:

נחפוף את משולשים ABO ו- ADO:
1. זוית A1 = זוית A2 - אלכסון ראשי בדלתון חוצה את זויות החוד
2. AB = AD - נובע מהגדרת הדלתון
3. זוית ABO = זוית ADO - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ABD
מכאן נובע:
משולש ABO חופף למשולש ADO - ז.צ.ז , זהויות 1, 2, 3

מהחפיפה נובע:
BO = DO - מ.ש.ל 1

4. זוית O1 = זוית O2
5. מאחר והזוויות O1, O2 צמודות סכומן 180 מעלות

6. זוויות O1, O2 ישרות - נובע מ- 1,2 - זוויות שוות שסכומן 180 מעלות חייבות להיות ישרות

מכאן: AD מאונך ל- BD

מ.ש.ל 2

הוכחת משפט בגיאומטריה: במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים

נתון 

משולש ABC שווה שוקיים (AB = AC) ,

AO תיכון ל- BC כך ש: BO = CO,
O מאונך ל- AB, ו- OF מאונך ל- AC

 

 

צריך להוכיח: OE = OF

הוכחה:

נוכיח את שיוויון הקטעים OF ו- OE ע"י חפיפת משולשים: OBE, ו- OCF.

1. זוית B = זוית C - זויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות
2. זווית BEO = זווית CFO = זווית ישרה - נתון
מכאן נובע מ- 1 ו- 2:
3. זווית O1 = זווית O2 - משלימות ל- 90 מעלות

4. BO = BO - צלע משותפת

מכאן נובע:
משולש BEO חופף למשולש CFO - ז.צ.ז. - שיוויונים 1, 3, 4

מהחפיפה נובע: OE = OF

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות

 נתון משולש ABC שבו זויות הבסיס B ו- C שוות.

משולש שווה שוקיים

 

צריך להוכיח כי הצלעות AB ו- AC מול הזוויות שוות.

הוכחה 

 
בונים בניית עזר אנך מנקודה A לבסיס BC בנקודה O.

1. O1⦠ = זO2⦠ = ת90°  - נתון מבניית העזר
2. זוית B = זוית C - נתון

מכאן
3. A1⦠ = גA2⦠ - משלימות ל- 90° .

4. AO = AO - צלע משותפת

מכאן
משולש ABO חופף למשולש ACO - זוית צלע זוית - שוויוניים 1,3,4

מהחפיפה נובע : AB = AC

מ.ש.ל