המרת מספר עשרוני מחזורי לשבר

מספר עשרוני מחזורי הוא מספר עשרוני שנמשך לנצח, אבל מספר ספרות חוזרות שוב ושוב. לדוגמה: ...0.1252525252525252525 הוא מספר מחזורי עשרוני, שבו המספר '25 'חזר לנצח.

המרת מספר עשרוני מחזורי לשבר

אנו יודעים כי מספרים עשרוניים מחזוריים יכולים להיכתב כשברים. הטריק הוא להשתמש במעט אלגברה.

דוגמה:

נדרש להמיר ... 0.142857142857 ... לשבר

נציב בנעלם את החלק המחזורי של המספר העשרוני : ... x = 0.142857142857

אנו רוצים להזיז את הנקודה העשרונית ימינה, כך שה"בלוק" הראשון של הספרות החוזרות יופיע לפני הנקודה העשרונית. הכפלת המספר ב- 10 תזיז את הנקודה העשרונית סיפרה אחת ימינה.

בדוגמה זו, נזיז את הנקודה העשרונית 6 מקומות ימינה (כך נכפיל את שני הצדדים ב- 1,000,000.

...1000000x =142,857.142857142857

עכשיו נחסר המספר המקורי שלנו, x, משני הצדדים כדי להיפטר מהחלק המחזורי לאחר הנקודה העשרונית מימין:

1000000x - x = 142857

או:

999999x = 142857

x = 142857/999999

צמצום ב- 142857

x = 1 / 7

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם

הוכחת משפט בגיאומטריה: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

קישורים:

• הוכחת משפט בגיאומטריה: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה
• הוכחת משפט בגיאומטריה: קטע אמצעים במשולש, המחבר אמצעי שתי צלעות, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

תרגיל פתור - אינדוקציה מתמטית - סכום סדרת ריבועי מספרים טבעיים עוקבים

תרגיל פתור - אינדוקציה מתמטית - סדרה באיברים משתנים

 

 

קישורים:

• תרגיל פתור באינדוקציה מתמטית - סדרת שברים
• הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d
• שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו
• שאלה פתורה אינדוקציה - אי שיוויון - מתוך בגרות 5 יח' - קיץ 2004
• שאלה פתורה אינדוקציה מתמטית הוכחת התחלקות - בגרות חורף 2005 , 5 יח'

סכום סדרת מכפלת גורמים - תרגיל פתור באינדוקציה מתמטית

 

 

קישורים:

• הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d
• שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו
• שאלה פתורה אינדוקציה - אי שיוויון - מתוך בגרות 5 יח' - קיץ 2004
• שאלה פתורה אינדוקציה מתמטית הוכחת התחלקות - בגרות חורף 2005 , 5 יח'

האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה

 משפט : האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה

הוכחת המשפט

נתון: טרפז שווה שוקים ABCD כך שבו:  AB||CD  ,  AD = BC

צ"ל: AC = BD

הוכחה:

מ.ש.ל

 

קישורים:

• הוכחת משפט בגיאומטריה: הזוויות שליד כל בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו
  

• אם האלכסונים בטרפז שווים זה לזה אז הוא טרפז שווה שוקיים

בעיה פתורה בטריגונומטריה - בגרות קיץ 2006 3 יח'

שאלה

במלבן ABCD אורך האלכסון הוא 12 ס״מ, וגודל זוית BCD הוא 34° (ראה ציור).

א. חשב את אורכי צלעות המלבן BC ו- DC.

ב. חשב את שטח המלבן.

ג. O היא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן. 

חשב את גודל הזוית DOC.

פתרון

א. אורכי הצלעות BC , CD:

BC = 12 ᐧ sin(34°)   = 6.71
CD = 12 ᐧ cos(34°) = 9.95

ב. שטח המלבן ABCD הוא מכפלת צלעותיו BC ו- CD:

S = BC ᐧ CD = 6.71 ᐧ 9.95 = 66.75

ג. אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
ולכן OC = OD , מכאן שזויות ODC ו- OCD שוות ביניהן ול- 34° .

נסמן את זוית COD ב- x - סכום הזויות במשולש COD הוא 180° :

180° = 34° + 34° + x

x = 112°

זוית DOC שווה ל- 112° .

בעיה פתורה באלגברה - בגרות מתמטיקה 3 יח' - קיץ 2006

שאלה 

 

ראובן שילם 44 שקלים בשביל 8 ק"ג אגסים ו– 5 ק"ג תפוחים. כעבור שבוע עלה מחיר האגסים ב– 25% , ומחיר התפוחים לא השתנה. 

לאחר עליית המחיר שילם ראובן 50 שקלים בשביל 8 ק"ג אגסים ו– 5 ק"ג תפוחים. חשב את המחיר של ק"ג אגסים לפני שעלה המחיר שלהם. 

 

 

פתרון 

 

נסמן ב- x - מחיר ק"ג אגסים לפני עליית המחיר שלהם. 

נסמן ב- y - מחיר ק"ג תפוחים. לפני עליית מחיר האגסים:

8x + 5y = 44

לאחר עליית מחיר האגסים ב- 25% , מחיר ק"ג אגסים הוא 1.25x.

1.25x * 8 + 5y = 50

ישנם 2 משוואות בשני נעלמים:

8x + 5y = 44 

10x + 5y = 50 

 

נפתור:

 

8x + 5y = 44 

2x + y = 10   --->>>   y = 10 -2x

נציב את y במשוואה הראשונה:

8x + 5(10 - 2x) = 44

8x + 50 - 10x = 44

2x = 6    

פתרון:

x = 3 ,  y = 4

מחיר ק"ג אגסים לפני שעלה המחיר שלהם הוא : 3 שקלים

נערים יושבים על סקטים בשדרה בתל אביב

מרץ 2011 - נערים יושבים על סקטים בשדרה בתל אביב

הזוויות שליד כל בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.

קישורים:

• הוכחת משפט הפוך - אלכסונים בטרפז שווה שוקיים: אם האלכסונים בטרפז שווים זה לזה אז הוא טרפז שווה שוקיים

הוכחת משפט בגיאומטריה: קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים חוצה גם את השוק השניה

 

 

קישורים:

• משפט: קטע במשולש המחבר שתי צלעות ומקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש. 
  
• הוכחת משפט בגיאומטריה: קטע אמצעים במשולש, המחבר אמצעי שתי צלעות, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

הוכחת משפט הפוך - אם האלכסונים בטרפז שווים זה לזה אז הוא טרפז שווה שוקיים

ראה גם המשפט: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה

הוכחת אי שוויון מעריכי בדרך האינדוקציה - בגרות 5 יח' חורף 2006

שאלה

הוכח בדרך האינדוקציה או בכל דרך אחרת כי האי שוויון 

3ⁿ > n² + 1

מתקיים לכל n טבעי.

הוכחה

נבדוק תחילה את תכונות האי שוויון עבור n = 1 : 

3¹ > 1² + 1

3 > 2

הנחת האינדוקציה - נניח שעבור n = k מתקיים:

3^k > k² + 1

נוכיח שעבור n = k + 1 מתקיים: 

3^k+1 > (k + 1)² + 1

נפתח את האי שוויון : 

3^k+1 > (k + 1)² + 1

3 ᐧ 3^k   >  k² + 2k + 1 + 1

3^k  +   3^k    + 3^k    >  (k² + 1) + (k + 1) + k

נתבונן באגפי האי שוויון, מהנחת האינדוקציה נובעים האי שוויונים:

3^k > k² + 1

3^k > k + 1

3^k > k

מ.ש.ל 

קישורים:

• הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d
• שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1
  
• שאלה פתורה אינדוקציה - אי שוויון - מתוך בגרות 5 יח' - קיץ 2004
• שאלה פתורה אינדוקציה מתמטית הוכחת התחלקות - בגרות חורף 2005 , 5 יח'

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

שלשה התיכונים במשולש

הוכחת המשפט

נתון:
AE = BE
AD = CD
BF = FC

צ"ל: תיכוני המשולש ABC נפגשים בנקודה אחת (התיכונים BD, AF, CE)

הוכחה:

BD ו- CE נפגשים בנקודה אחת O
ומתקיים BO = 2DO (עפ"י המשפט: כל שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שמחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1 כך שהחלק הארוך יותר קרוב לקדקוד).
עפ"י אותו משפט בדיוק BE ו- AF נפגשים בנקודה אחת ומתקיים:
BO = 2DO .
מכאן שזו אותה נקודה O.

מ.ש.ל.

קישורים:

• משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
  
• משפט: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת

אינדוקציה מתמטית הוכחת התחלקות - בגרות חורף 2005 , 5 יח'

תזכורת הוכחה באינדוקציה: 

א. בדיקה עבור n=1,2,…t כלשהו (תלוי בטענה) (בדיקה).

ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).

ג. הוכחה עבור n=k+1 (צעד האינדוקציה). 

שאלה

נתונה סדרה חשבונית:

2 ,  5 ,  8 , ... a_n

הוכח בדרך האינדוקציה שעבור כל n טבעי מתקיים:

2ᐧ3^(a_n) + 3ᐧ2^(a_n+1)

מתחלק ב- 38 ללא שארית.

הוכחה

נמצא תחילה את a_n  :

הסדרה היא חשבונית שאיברה הראשון 2, והפרשה 3:

a₁ = 2

d = 3

a_n = a₁ + d(n-1) 

a_n = 2 + 3(n-1)  = 2 + 3n - 3

a_n = 3n - 1

לכן ניתן לרשום את הסדרה כך:

2  ,  5 , 8,  ... 3n-1

נוכיח אם כן שהביטוי  שנסמנו B_n:

B_n = 2ᐧ3^3n-1 + 3ᐧ2^3(n+1)-1 

B_n = 2ᐧ3^3n-1 + 3ᐧ2³ⁿ⁺² 

מתחלק ב- 38 ללא שארית.

נוכיח בדרך האינדוקציה.

נבדוק עבור n = 1:

B₁ = 2ᐧ3^3*1-1  + 3ᐧ2^3*1+2 = 2ᐧ3² + 3ᐧ2⁵ = 114

114 / 38 = 3

הבדיקה הצליחה עבור n = 1.

נניח (הנחת האינדוקציה) שעבור  n = k הביטוי:

B_k = 2ᐧ3^3k-1 + 3ᐧ2^3k+2 

מתחלק ב- 38 ללא שארית.

נוכיח ש -  B_k+1 = 2ᐧ3^3k+2 + 3ᐧ2^3k+5  מתחלק ב- 38 ללא שארית. 

נפתח את B_k+1 :

B_k+1 = 2ᐧ3^3k+2 + 3ᐧ2^3k+5

B_k+1 = 2ᐧ3³ᐧ3^3k-1 + 3ᐧ2³ᐧ2^3k+2

B_k+1 = 54ᐧ3^3k-1 + 24ᐧ2^3k+2

B_k+1 = 38ᐧ3^3k-1 +16ᐧ3^3k-1 + 24ᐧ2^3k+2

B_k+1 = 38ᐧ3^3k-1 +8*(2ᐧ3^3k-1 + 3ᐧ2^3k+2)

הביטוי 38ᐧ3^3k-1 מתחלק ב- 38 ללא שארית.

גם הביטוי (2ᐧ3^3k-1 + 3ᐧ2^3k+2)*8 מתחלק ב- 38 ללא שארית על פי הנחת האינדוקציה.

לכן  B_k+1 מתחלק ב- 38 ללא שארית.

מ.ש.ל

אינדוקציה - אי שיוויון - מתוך בגרות 5 יח' - קיץ 2004

שאלה 

הוכח בדרך האינדוקציה או בדרך אחרת כי עבור n טבעי גדול מ- 1 מתקיים:

1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/n² < (n - 1)/n  

פתרון

נוכיח את אי השוויון בדרך האינדוקציה.

נבדוק עבור n = 2:

 1/2² < (2 - 1)/2

1/4 <  1/2  

האי שוויון מתקיים עבור n = 2.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור n = k מתקיים:

1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/k² < (k - 1)/k

נוכיח שעבור n = k + 1 מתקיים:

1/2² + 1/3² + 1/4² + . . . + 1/k² + 1/(k +1)² < k /(k + 1)

נשתמש בהנחת האינדוקציה ומציב את האי שוויון שהנחנו ונקבל:

 (k - 1)/k  + 1/(k +1)² < k /(k + 1)

נפתח אי שוויון זה כדי להוכיח אותו ונבחן האם נקבל בסוף ביטוי אמת:

(k - 1)/k  < k /(k + 1) - 1/(k +1)² 

(k - 1)/k  < [k(k +1) - 1] / (k +1)² 

(k - 1)(k +1)² / k < k(k +1) - 1

(k² - 1)(k + 1) < k(k² + k - 1)

k³ + k² - k - 1 < k³ + k² - k

-1 < 0

קיבלנו פסוק אמת  0 > 1-  כלומר האי שוויון עבור  n = k +1 מתקיים.

מ.ש.ל.

קישורים:

• הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d
• שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1

משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת.

קישורים:

• משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
• משפט: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים

שאלה באלגברה - מתוך בגרות 3 יח' מועד ב' 2006

שאלה 

 

המשכורת של יוסף הייתה גדולה ב- 1050 שקלים מהמשכורת של דוד. לאחר שהמשכורת של דוד עלתה ב- 15% קיבלו יוסף ודוד משכורת זהה. חשב את המשכורת של יוסף.  

 

פתרון 

 

נסמן ב- x את המשכורת של דוד לפני שעלתה. 

המשכורת של יוסף גדולה ב- 1,050 שקלים: x + 1050 

המשכורת של דוד לאחר עליה ב- 15%: 1.15x 

 

לאחר שהמשכורת של דוד עלתה ב- 15% קיבלו יוסף ודוד משכורת זהה, 

לכן: 1.15x = x + 1050

0.15x = 1050

x = 7,000

 

המשכורת של דוד לפני שעלתה 7,000 שקלים, ושל יוסף גדולה ב- 1,050:  

המשכורת של יוסף: 8,050 שקלים

אינדוקציה מתמטית - סכום ריבועי איברי טור חשבוני עולה

תזכורת הוכחה באינדוקציה: א. בדיקה עבור n=1,2,…t כלשהו (תלוי בטענה) (בדיקה). ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה). ג. הוכחה עבור n=k+1 (צעד האינדוקציה). 

   

 קישורים:

• הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d
• דוגמה לפתרון תרגיל באינדוקציה מתמטית
• שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1

משפט: קטע במשולש המחבר שתי צלעות ומקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.

קישורים:

• משפט: קטע אמצעים במשולש, המחבר אמצעי שתי צלעות, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.

משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. 

שיטת ההוכחה: נקודת מפגש של שני חוצי זוויות המשולש היא O, מוכיחים שמוצא זווית שלישית עובר דרך נקודה O. 

משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.

הוכחת המשפט

 

לסיכום: שלושת חוצי הזוויות במשולש ABC נפגשים בנקודה אחת O.

קישורים:

• משפט: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת

הוכחת משפט בגיאומטריה: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת

הוכחת משפט בגיאומטריה: שלושת הגבהים במשולש נפגשים  בנקודה אחת

מ.ש.ל

קישורים:

• משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
• משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת
• משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

אינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1

שאלה

הוכח בדרך האינדוקציה כי:

1 + 2 + 3 + ... + n = nᐧ(n + 1 ) / 2

פתרון

תזכורת הוכחה באינדוקציה:

א. בדיקה עבור n = 1,2,..t כלשהו (תלוי בטענה, בדיקה)

ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).

ג. הוכחה עבור  n = k +1  (צעד האינדוקציה).

1. בדיקה עבור n = 1 : 

1 = 1 ᐧ 2 / 2 = 1

2. נניח כי הטענה נכונה עבור n = k כלומר:

1 + 2 + 3 + ... + k = kᐧ(k + 1 ) / 2

3. נוכיח עבור  n = k + 1  מתקיים:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k +1) = (k + 1)ᐧ(k + 2 ) / 2

הוכחה:

עבור n = k + 1 :

1 + 2 + 3 + ... + k + (k +1) =  kᐧ(k + 1 ) / 2 + (k +1) =

[kᐧ(k + 1 ) + 2(k +1)] / 2 = (k +1)ᐧ(k +2) / 2

מ.ש.ל

טריגונומטריה - ניצבים, זויות ושטח במשולש ישר זוית - מבגרות 3 יח' קיץ 2007

מציאת נקודה אמצעית בין שתי נקודות ומשוואת ישר - מבגרות 3 יחידות קיץ 2007

שאלה

 

במשולש ABC נקודה D היא אמצע הצלע AB.

א. נתון (2, 1-)D ונתון (8, 3)A .

מצא את שיעורי הקדקוד B.

ב. נתון גם (6 , 5)C. מצא את משוואת הצלע BC.

 
פתרון

א. שיעורי הקדקוד B

נקודה D היא אמצע הקודוקודים A ו - B, לכן:

xD = 1/2(xA + xB)

yD = 1/2(yA + yB)

בהצבה:

-1 = 1/2(3 + xB)

2 = 1/2(8 + yB)

xB = -5

yB = -4

ב. משוואת הצלע B

נתונות נקודה C(5 , 6) , ונקודה B(-5 , -4)

משוואת קן העובר דרך 2 נקודות : (x1 , y1) , (x2, y2) :

(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)

נציב הנקודות B ו- C ונקבל:

(x + 5) / 10 = (y + 4) / 10

y = x + 1

משוואת הצלע BC :

y = x + 1

סדרות חשבוניות מתוך בגרות 3 יח' - קיץ 2007

שאלה

נתונות שתי סדרות   .... 12  ,  9 ,  6

                              .... 157  ,  159  ,   161

לשתי הסדרות יש אותו מספר איברים.

האיבר האחרון בסדרה אחת שווה לאיבר האחרון בסדרה השנייה.

א.  מצא את ההפרש של כל אחת מהסדרות.

ב.  מצא את מספר האיברים בכל אחת מהסדרות.

פתרון

סעיף א

הפרש סדרה חשבונית מוגדר כהפרש בין שני איברים בה.

d = a_n – a_n-1

נסמן את הפרש הסדרה הראשונה d₁ , ואת הפרש הסרה השניה d₂

הפרש הסדרה הראשונה:

d₁ = 9 – 6 = 3

הפרש הסדרה השניה:

d₂ = 159 – 161 = -2

סעיף ב

לשתי הסדרות אותו מספר איברים נסמנו ב- n , והאיבר האחרון בשתי הסדרות זהה, נסמנו ב- a_n.

נוסחת האיבר ה- nי של סדרה חשבונית:

a_n = a₁ + d(n-1)

נפעיל את הנוסחה של שתי הסדרות

עבור הסדרה הראשונה קיבלנו: a_n = 6 + 3(n-1)

עבור הסדרה השניה קיבלנו: a_n = 161 - 2(n-1)

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים, נפתור:

a_n = 3 +3n

a_n = 163 -2n

3 + 3n = 163 – 2n

5n = 160

n = 32

a_n = 3 + 3n = 99

בעיה פתורה אלגברה פונקציה ריבועית - בגרות 3 יחידות מתמטיקה

שאלה

נתונה הפונקציה הריבועית y = x² + 6x + 9

א. מצא את הנקודה המשותפת לגרף הפונקציה ולציר x.

ב. מצא את הנקודה המשותפת לגרף הפונקציה ולציר y.

ג. מהו המרחק בין ראשית הצירים לבין הנקודה המשותפת לגרף הפונקציה ולציר y?

פתרון

סעיף א

נתונה הפונקציה הריבועית y = x² + 6x + 9

למציאת נקודות חיתוך (נקודות משותפות) של הפרבולה עם ציר x נציב בפונקציה y = 0.

x² + 6x + 9= 0

(x + 3)² = 0

לפונקציה פתרון אחד, הפרבולה משיקה לציר x בנקודה:

x = -3

סעיף ב

נקודת חיתוך עם ציר y , כאשר x = 0 :

y = x² + 6x + 9

מציבים x = 0:

y = 9

סעיף ג

המרחק בין ראשית הצירים לנקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y:

ראשית הצירים היא הנקודה (0, 0).

נקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y, מצאנו בסעיף ב לעיל הנקודה: (0, 9)

המרחק בין הנקודות (0, 0), ו-(0, 9) הוא 9 יחידות