חקירת פונקציה פרבולית - תרגיל פתור

מצא עבור אילו ערכים של m נמצא הגרף של הפונקציה הבאה מעל ציר x:

y = x² -mᐧx + m +3

 

פרבולה מעל ציר x

 
מדובר בגרף פונקציה מהמעלה השניה (פרבולה) מהצורה:  y = aᐧx² + bᐧx + c

כאשר:
a = 1
b = -m
c = m + 3

לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדיסקרמיננטה קטנה מאפס:  b² - 4ᐧaᐧc < 0

הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:  a > 0

נמצא את ערכי m לתנאים לעיל ונבצע חיתוך.

תנאי א -
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדיסקרמיננטה קטנה מאפס:   b² - 4ᐧaᐧc < 0

m² - 4(m + 3) < 0

m² - 4m -12 < 0

                        _________

m 1,2  = [4 ± √(16 + 4 ᐧ 12)] / 2 = (4 ± 8) / 2

m1 = 6

m2 = -2

לפרבולה אין חיתוך עם ציר x עבור ערכי m ן: 6 > m >ן 2-

תנאי ב
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום: a > 0
תנאי זה תמיד נכון עבור a = 1

החיתוך של תנאים א, ב הוא הפתרון: 6 > m >ן 2-

מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן

נתון

ABCD מקבילית: AB||CD , AD||BC
אלכסוני המקבילית שווים: AC = BD

מקבילית ABCD שאלכסוניה שווים

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מלבן

הוכחה

נוכיח חפיפת משולשים ABC , BCD :
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית שוות
BC = BC - צלע משותפת
AC = BD - נתון
מכאן: משולשים ABC , BCD חופפים - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
1. - מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
2. אך: - סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במקבילית שווה 180 מעלות

לכן: - נובע מ- 1,2
באותה דרך מוכיחים כי

מכאן כל זוויות המרובע ABCD ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות)
לכן מרובע ABCD מלבן

מ.ש.ל

קישורים:

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180
• אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שבו זוויות נגדיות שוות

מרובע ABCD עם זוויות נגדיות שוות

 

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית

הוכחה

נסמן את זוויות המרובע ב- a, b

לפי משפט סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות, מתקיים:

2a+2b=360

נחלק ב-2 ונקבל:

a+b=180

כלומר סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במרובע ABCD הוא 180 מעלות
לכן
מכאן
AD||BC - שני ישרים (AD, BC) נחתכים על ידי ישר שלישי (AB). אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות AB||CD

מכאן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שאלכסוניו AC, BD חוצים זה את זה
AO = CO , BO = DO

מרובע ABCD שאלכסוניו AC, BD חוצים זה את זה

 

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית
AD||BD , AB||CD

הוכחה

נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AO = CO , BO = DO - נתון
 O₂ ⦠ן = O₁⦠ - קודקודיות

מכאן משולשים AOD, BOC חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
 C₁ ⦠ן = A₁⦠ - מול צלעות שוות (BO = DO) במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות

מכאן
AD||BC - שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי (AC). אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות צלעות המרובע AB||CD, ע"י חפיפת משולשים AOB, COD ושיוויון זוויות פנימיות מתחלפות BAC, ACD

לכן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

מרובע ABCD שבו AD||BC , AD = BC

 

 

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה

בניית עזר - בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC - נתון
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית - אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל 

 

אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון מרובע ABCD

מרובע ABCD שזוג צלעות נגדיות שלו שוות

AB = CD , BC = AD

צריך להוכיח: מרובע ABCD מקבילית , AB||CD , AD||BC

הוכחה:
בניית עזר - בונים את האלכסון AC

נוכיח חפיפת משולשים ABC, ADC

1. AB = CD - נתון
2. BC = AD - נתון
3. AC = AC - צלע משותפת
4. משולש ABC חופף למשולש ADC - נובע מ- 1,2,3 - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:

5.  A₁⦠= זC₁⦠ - זוויות מול צלעות שוות במשולשים חופפים שוות

ולכן:
6. AD || BC - אם בין שני ישרים וחותך (AC) זוויות פנימיות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

באותה דרך מוכיחים כי AB || BC משיוויון זוויות A2, C2

משפט - סכום כל זוג זוויות סמוכות במקבילית הוא 180 מעלות

נתון

מקבילית ABCD שבה AB||CD , AD||BC 

מקבילית ABCD שבה AB||CD , AD||BC

 

צריך להוכיח:  

הוכחה: 

בניית עזר - ממשיכים את הקטע AD ליצירת זוויות A1, A2.

1.

  - זוויות מתאימות שוות, מקבילים AB||CD , חותך AD .

2.

  - צמודות.

לכן:

  - בהצבה, נובע מ-1 ו- 2  מ.ש.ל

שאלה פתורה בגיאומטריה - הוכחה כי מרובע ניתן לחסימה במעגל

שאלה

המרובע ABCD הוא מקבילית.
מעגל העובר דרך הקודקודים B ו- C חותך את אלכסוני המקבילית בנקודות E, F.
הוכח כי ניתן לחסום את המרובע ADFE במעגל.



פתרון

שאלה פתורה בגיאומאטריה - משולש שווה צלעות

תרגיל

על הצלע AB של המשולש ABC, בו 60⁰ = ABC⦣ בנו משולש שווה צלעות ABD. הקטע CD חותך את AB בנקודה E, ו-  2AE = BE.

א. CF הוא גובה המשולש CBE, ו- DG הוא גובה המשולש DEA , חשבו את היחס CF / DG.

ב. הראו כי המשולשים AEC ו- BED שווי שטח.

פתרון

 

הוכחת משפט חוצה זווית הפוך: ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות בהתאמה, חוצה את זווית המשולש

משפט חוצה זווית הפוך: ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר . 

נתון: משולש ABC .

AD קטע מנקודה A לצלע BC כך ש:

AB / AC = BD / DC

 צ"ל:    DAC⦠ן = BAD⦠ 

הוכחה: 

1. AB / AC = BD / DC -  נתון

2. ב"ע - נעביר מקביל מנקודה C לצלע AD עד למפגש עם המשך AB, כך ש: AD||CE

  3.  BD / DC = AB / AE (משפט תלס לפי 2) 

 4.  AB / AC = AB / AE ---> AC = AE (כלל מעבר לפי 1,3 + חישוב)

 5.   BAD⦠ ן = E⦠ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו לפי 2)

 6.   ACE⦠ן = E⦠  (במש"ש זוויות הבסיס שוות זו לזו לפי 4)

 7.  DAC⦠ן = ACE⦠ (הזוויות המתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו לפי 2) 

 8.   DAC⦠ן = BAD⦠  (כלל מעבר לפי 5,6,7) 

 מ.ש.ל.

בעיה פתורה בגיאומטריה עם משפט חוצה זווית ומשפט תאלס הפוך

נתון:
משולש ABC
AD הוא תיכון לצלע BC.
DE חוצה את הזווית ADB.
DF חוצה את הזווית ADC.

הוכח:
EF || BC (מקביל).

נוכיח באמצעות משפט חוצה זווית במשולשים ADC, ו- ABD, ותיכון לצלע BC, יחסים שווים בקטעים AF, CF ו- AE, BE. ובעזרת משפט תאלס הפוך נראה מקבילות EF ו - BC.

הוכחה:
1. AF/FC = AD/CD - ע"פ משפט חוצה זווית - FD הוא חוצה זווית במשולש ADC ומחלק את הצלע מול הזווית אותה חוצה לקטעים פרופורציונים לצלעות AD, CD
2. באופן דומה מוכיחים AE/BE = AD/BD
3. BD = CD - נתון - AD הוא תיכון לצלע BC.
4. AD/BD = AD/CD - נובע מ- 3
5. AE/BE = AF/FC - נובע מ- 1,2, 4
6. EF || BC - נובע מ-5 ומשפט תאלס הפוך - שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.

מ.ש.ל

תרגיל פתור בגיאומטריה - מקבילית חסומה במשולש שווה שוקיים

שאלה

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFG.
נתון AC = BC , DB = DG = CF
חשב את זוויות המשולש ABC.

בתוך משולש שווה שוקיים ABC חסומה מקבילית DEFG

 

 פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נסמן ב- x את זוית B, ונמצא את זוויות נוספות בסקיצה כפונקציה של x. לאחר מכן נמצא משוואה של קשר מסוים בין הזוויות ונחלץ את x.

 

זווית B במשולש ABC מסומנת ב- x

 

1. כאמור נקבע
2. מכאן - הצלעות AC = BC - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש ABC
3. מכאן - משלימה את זוויות A, B ל- 180 במשולש ABC
4. EF = DG - צלעות נגדיות במקבילית שוות
5. CF = DG - נתון
6. CF = EF - נובע מ- 4, 5
7. - נובע מ- 6 - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש CEF
8. - נובע מ- 3, 7

9. - זוויות מתאימות - DE מקביל ל - BC , חותך AB
10. - נובע מ- 9,1
11. - משלימה את זוויות A, ADE ל- 180 במשולש ADE

12. DB = DG - נתון
13. - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש DGB
14. - נובע מ- 1, 13
15. - צמודה לזוית DGB השווה ל- x
16. - נגדית לזווית FGD במקבילית DEFG - זויות נגדיות במקבילית שוות

17. הזוויות AED, DEF, CEF נמצאות על הקטע AC ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זוויות על ישר 180 מעלות
18. - נובע מ- 8, 11, 16,17
19. - פתרון משוואה 18

מכאן:

20. - נובע מ- 19, 1,2,3

מ.ש.ל

חידה מתמטית - ריבוע חסום במשולש

חידה במתמטיקה:

נתון משולש ABC בעל אורכי צלעות 10, 17, 21 כמתואר בסקיצה. ריבוע חסום בתוך המשולש. מצא אורך מצלע הריבוע d.

פתרון:
ע"פ נוסחת הרון ניתן למצוא שטח משולש A ע"פ אורכי צלעותיו:
נוסחת הרון לשטח A :








לכן במקרה שלנו:
s = (10 + 17 + 21) /2
s = 48/2 = 24

ולכן שטח המשולש A:


לכן הגובה h מהנקודה A לצלע BC:
A = 21h/2 = 84
h = 8
נניח עתה כי d הוא אורך צלע הריבוע, לכן המשולשים ABC והמשולש (צבע כחול) הנוצר מצלע ריבוע עליונה דומים. מדמיון משולשים נובע היחס:


מכאן אורך צלע הריבוע d = 168/29

חשבון כיתה ח - פתרון גרפי של שתי משוואות לינאריות עם שני נעלמים

תרגיל
שרטט במערכת הצירים את הגרפים המתאימים למערכת משוואות
x + y = 5
x - 2y = 2
וסמן את פתרונה.

פתרון
נשרטט את המשוואה x + y = 5 במערכת צירים.
נמצא נקודות חיתוך עם הצירים:
נקודת חיתוך עם ציר x - כאשר y = 0 , יוצא x +0 = 5
x = 5

נקודת חיתוך עם ציר y - כאשר x = 0 , יוצא y = 5

נשרטט את המשוואה x -2y = 2 במערכת צירים.
נמצא נקודות חיתוך עם הצירים:
נקודת חיתוך עם ציר x - כאשר y = 0 , יוצא x - 0 = 2
x = 2

נקודת חיתוך עם ציר y - כאשר x = 0 , יוצא y = -1

מתקבלים הגרפים:

שרטוט המשוואות x+y=5 , x-2y=2 במערכת צירים

פתרון מערכת המשוואות הוא נקודת החיתוך של הגרפים: x = 4 , y = 1

קישורים:

•  תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
  חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-15 ,  שאלה 18 , שאלה 21 , שאלה 24 

  תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

  מציאת קבוצת האמת של מערכת המשוואות

•  תבנית מספר לשטח והיקף מלבן
• פישוט ביטויים והצבת ערכים במשתנים
• תרגילים ותשובות לכיתה ח - סדר פעולות חשבון
• הצבה בתבניות מספר

חשבון כיתה ח - מציאת קבוצת האמת של מערכת המשוואות

מצא את קבוצה האמת של מערכות המשוואות הבאות:

א. 

6x + 3y = 9

3x - y = 2

ב.

x + y = 8

x - 2y = 2

 

 ג.

2x + 4 = x - 2(y-3)

5x + 3 + y = 7

 

ר.

2x + 3y = 21

y - x = 2

 

 

פתרון תרגיל א 

6x +3y = 9
3x - y = 2

נציב את המשתנה y = 3x - 2 מהמשוואה השניה, במשוואה הראשונה, ונקבל:
6x + 3(3x - 2) = 9
6x +9x -6 = 9
15x = 15
x = 1
נמצא את y = 3x - 2 = 3-2 = 1

לכן: x = 1 , y = 1

פתרון תרגיל ד

2x + 3y = 21
y - x = 2

נציב: y = x +2

2x + 3(x + 2) = 21
2x + 3x + 6 = 21
5x = 15
x = 3

נציב את x = 3 במשוואה y = x +2
ונקבל y = x +2 = 3 +2 = 5

לכן: x = 5 , y = 5



קישורים:

• תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,

חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-15 ,  שאלה 18 , שאלה 21 , שאלה 24

• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב